Calcule, utilizando coordenadas cilíndricas, a integral
em que é o sólido exterior ao cone e interior ao paraboloide .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral tripla de sobre o sólido . Esse sólido é a região que está fora do cone e dentro do paraboloide . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis quando estamos lidando com simetria circular, como é o caso aqui. Nas coordenadas cilíndricas, a gente usa (a distância do eixo ), (o ângulo em torno do eixo ) e mesmo. Vamos precisar converter as equações do cone e do paraboloide para essas coordenadas e então determinar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações do cone e do paraboloide para coordenadas cilíndricas. Sabemos que e , então .
Para o cone:
Para o paraboloide:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar onde o cone e o paraboloide se cruzam para determinar os limites de . Igualamos as duas expressões de :
Resolvendo para :
Então, ou . Ignoramos porque estamos interessados na interseção, que ocorre em .
Passo 4
Com isso, nossos limites de integração para vão de a . Para , como não há restrição angular, vai de a . E para , em cada valor de , vai do cone até o paraboloide, ou seja, de a .
Passo 5
Lembrando que em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é dado por . Então, nossa integral tripla fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral na ordem , , e depois .
Primeiro, integramos em relação a :
Passo 7
Agora, integramos o resultado em relação a :
Substituindo :
Na verdade:
Parece que houve um erro de cálculo. Vamos refazer:
Mas isso não faz sentido, pois estamos calculando uma área positiva. Vamos verificar novamente:
Então:
Parece que houve um erro na definição dos limites ou na integral. Vamos reavaliar os limites de . O paraboloide está abaixo do cone para , então os limites de devem ser de até .
Passo 8
Corrigindo os limites de integração para , agora temos: