Calcule, utilizando coordenadas cilíndricas, a integral
em que é o sólido exterior ao cone e interior ao paraboloide .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral tripla de sobre o sólido . Esse sólido é a região que está fora do cone e dentro do paraboloide . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis quando estamos lidando com simetria circular, como é o caso aqui. Nas coordenadas cilíndricas, a gente usa (a distância do eixo ), (o ângulo em torno do eixo ) e mesmo. Vamos precisar converter as equações do cone e do paraboloide para essas coordenadas e então determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações do cone e do paraboloide para coordenadas cilíndricas. Sabemos que e , então .
Para o cone:
Para o paraboloide:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar onde o cone e o paraboloide se cruzam para determinar os limites de . Igualamos as duas expressões de :
Resolvendo para :
Então, ou . Ignoramos porque estamos interessados na interseção, que ocorre em .

Passo 4

Com isso, nossos limites de integração para vão de a . Para , como não há restrição angular, vai de a . E para , em cada valor de , vai do cone até o paraboloide, ou seja, de a .

Passo 5

Lembrando que em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é dado por . Então, nossa integral tripla fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral na ordem , , e depois .
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a :
Substituindo :
Na verdade:
Parece que houve um erro de cálculo. Vamos refazer:
Mas isso não faz sentido, pois estamos calculando uma área positiva. Vamos verificar novamente:
Então:
Parece que houve um erro na definição dos limites ou na integral. Vamos reavaliar os limites de . O paraboloide está abaixo do cone para , então os limites de devem ser de até .

Passo 8

Corrigindo os limites de integração para , agora temos:
Vamos refazer a integral em :

Passo 9

Agora, integramos em relação a :
Substituindo :
Calculando:

Passo 10

Finalmente, integramos em relação a :

Resposta

A integral tripla é igual a .

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c)
Calcule o valor de no ponto . Identifique, se existir, pontos no domínio cujo valor de é real puro. Para esses pontos calcule o valor da função.
a)
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a)