Calcule, utilizando coordenadas cilíndricas, a integral
em que é o sólido exterior ao cone e interior ao paraboloide .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral tripla de sobre o sólido . Esse sólido é a região que está fora do cone e dentro do paraboloide . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis quando estamos lidando com simetria circular, como é o caso aqui. Nas coordenadas cilíndricas, a gente usa (a distância do eixo ), (o ângulo em torno do eixo ) e mesmo. Vamos precisar converter as equações do cone e do paraboloide para essas coordenadas e então determinar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações do cone e do paraboloide para coordenadas cilíndricas. Sabemos que e , então .
Para o cone:
Para o paraboloide:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar onde o cone e o paraboloide se cruzam para determinar os limites de . Igualamos as duas expressões de :
Resolvendo para :
Então, ou . Ignoramos porque estamos interessados na interseção, que ocorre em .
Passo 4
Com isso, nossos limites de integração para vão de a . Para , como não há restrição angular, vai de a . E para , em cada valor de , vai do cone até o paraboloide, ou seja, de a .
Passo 5
Lembrando que em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é dado por . Então, nossa integral tripla fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral na ordem , , e depois .
Primeiro, integramos em relação a :
Passo 7
Agora, integramos o resultado em relação a integral0^1raiz3 ( r^52 - r^36 ) dr = 12 cdot r^66 - 16 cdot r^44 g|0^1raiz3 = r^612 - r^424 g|0^1raiz3 :
Parece que houve um erro na definição dos limites ou na integral. Vamos reavaliar os limites de . O paraboloide está abaixo do cone para , então os limites de devem ser de até .
Passo 8
Corrigindo os limites de integração para integral triplaE z , dV = integral0^2pi integral0^1raiz3 integralr^2^rraiz3 z cdot r , dz , dr , dtheta , agora temos:
integralr^2^rraiz3 z cdot r , dz = r [ z^22 ]r^2^rraiz3 = r ( ( rraiz3 )^22 - (r^2)^22 ) = r ( r^26 - r^42 ) = r^36 - r^52
Vamos refazer a integral em :
Passo 9
Agora, integramos em relação a integral0^1raiz3 ( r^36 - r^52 ) dr = 16 cdot r^44 - 12 cdot r^66 g|0^1raiz3 = r^424 - r^612 g|0^1raiz3 :