Calcule, utilizando coordenadas cilíndricas, a integral
integral triplaE z d V
em que E é o sólido exterior ao cone z=raizx^2+y^23 e interior ao paraboloide z=x^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral tripla de sobre o sólido . Esse sólido é a região que está fora do cone e dentro do paraboloide . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis quando estamos lidando com simetria circular, como é o caso aqui. Nas coordenadas cilíndricas, a gente usa (a distância do eixo ), (o ângulo em torno do eixo ) e mesmo. Vamos precisar converter as equações do cone e do paraboloide para essas coordenadas e então determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações do cone e do paraboloide para coordenadas cilíndricas. Sabemos que z = raizx^2 + y^23 Rightarrow z = raizr^23 = rraiz3 e z = x^2 + y^2 = r^2 , então .
Para o cone:
Para o paraboloide:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar onde o cone e o paraboloide se cruzam para determinar os limites de rraiz3 = r^2 . Igualamos as duas expressões de r^2 = rraiz3 Rightarrow r^2 - rraiz3 = 0 Rightarrow r(r - 1raiz3) = 0 :
Resolvendo para :
Então, ou . Ignoramos porque estamos interessados na interseção, que ocorre em .

Passo 4

Com isso, nossos limites de integração para vão de a . Para , como não há restrição angular, vai de a . E para , em cada valor de , vai do cone até o paraboloide, ou seja, de a .

Passo 5

Lembrando que em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume integral triplaE z , dV = integral0^2pi integral0^1raiz3 integralrraiz3^r^2 z cdot r , dz , dr , dtheta é dado por . Então, nossa integral tripla fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral na ordem integralrraiz3^r^2 z cdot r , dz = r [ z^22 ]rraiz3^r^2 = r ( (r^2)^22 - ( rraiz3 )^22 ) = r ( r^42 - r^26 ) = r^52 - r^36 , , e depois .
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a integral0^1raiz3 ( r^52 - r^36 ) dr = 12 cdot r^66 - 16 cdot r^44 g|0^1raiz3 = r^612 - r^424 g|0^1raiz3 :
( 1raiz3 )^612 - ( 1raiz3 )^424 = 13^312 - 13^224 = 12712 - 1924 = 1324 - 1216 = 1 - 34324 = -1324 + 1324 (Revisando)
Substituindo 1324 - 1216 = 2 - 3648 = -1648 :
127 cdot 12 - 19 cdot 24 = 1324 - 1216 = 2 - 3648 = -1648
Na verdade:
127 cdot 12 = 1324
Parece que houve um erro de cálculo. Vamos refazer:
19 cdot 24 = 1216
Mas isso não faz sentido, pois estamos calculando uma área positiva. Vamos verificar novamente:
1324 - 1216 = (1 cdot 2) - (3 cdot 1)648 = 2 - 3648 = -1648
Então:
Parece que houve um erro na definição dos limites ou na integral. Vamos reavaliar os limites de . O paraboloide está abaixo do cone para , então os limites de devem ser de até .

Passo 8

Corrigindo os limites de integração para integral triplaE z , dV = integral0^2pi integral0^1raiz3 integralr^2^rraiz3 z cdot r , dz , dr , dtheta , agora temos:
integralr^2^rraiz3 z cdot r , dz = r [ z^22 ]r^2^rraiz3 = r ( ( rraiz3 )^22 - (r^2)^22 ) = r ( r^26 - r^42 ) = r^36 - r^52
Vamos refazer a integral em :

Passo 9

Agora, integramos em relação a integral0^1raiz3 ( r^36 - r^52 ) dr = 16 cdot r^44 - 12 cdot r^66 g|0^1raiz3 = r^424 - r^612 g|0^1raiz3 :
( 1raiz3 )^424 - ( 1raiz3 )^612 = 1924 - 12712 = 1216 - 1324
Substituindo 1216 - 1324 = 3 - 2648 = 1648 :
Calculando:

Passo 10

Finalmente, integramos em relação a integral0^2pi 1648 , dtheta = 1648 cdot 2pi = 2pi648 = pi324 :

Resposta

A integral tripla é igual a .

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