Calcule o valor de
no ponto
. Identifique, se existir, pontos no domínio cujo valor de
é real puro. Para esses pontos calcule o valor da função.
a)
a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma função de uma variável complexa,
, e precisamos calcular seu valor no ponto específico
. Além disso, queremos identificar se existem pontos onde
é um número real puro, ou seja, sem parte imaginária, e calcular o valor da função nesses pontos. Para resolver isso, vamos precisar saber como trabalhar com números complexos, calcular partes reais e imaginárias, e manipular expressões envolvendo essas partes.
Passo 2
Vamos começar calculando
no ponto
. A função é dada por:
Primeiro, vamos calcular cada termo separadamente para facilitar.
Passo 3
Calculando
:
O módulo de um número complexo é
, então:
O módulo de um número complexo
Passo 4
Calculando
:
Multiplicamos por
:
Multiplicamos
A parte real é o termo sem
, então:
Agora, multiplicamos por 2:
Passo 5
Calculando
:
Primeiro calculamos :
Primeiro calculamos
Então,
A parte imaginária é o coeficiente de
, então:
Agora, multiplicamos por
:
Passo 6
Agora, juntamos todos os termos para encontrar
:
Passo 7
Agora, vamos identificar os pontos no domínio onde
é real puro, ou seja, onde a parte imaginária é zero. Para isso, a parte imaginária de
deve ser igual a zero.
Passo 8
A função
é:
A parte imaginária é
. Queremos que:
Então, precisamos resolver:
Passo 9
Vamos escrever
, onde
e
são números reais. Calculamos
:
Então,
A parte imaginária é
. Queremos que isso seja zero:
Passo 10
A equação
é satisfeita quando
ou
.
- Se
, então . - Se
, então .
Passo 11
Agora, vamos calcular
para os casos onde
é puramente real (
) ou puramente imaginário (
).
Caso 1:
(puramente real)
Calculamos cada termo:
Então:
Portanto,
é real para qualquer número real
.
Caso 2:
(puramente imaginário)
Calculamos cada termo:
Então:
Nesse caso,
também é real para qualquer número real
.
Resposta
Os pontos no domínio onde
é real puro são todos os números reais
e todos os números imaginários
. Para esses pontos, o valor da função é:
- Se
(real), então . - Se
(imaginário), então .
Exercícios relacionados
Calcule, utilizando coordenadas cilíndricas, a integral
em que
é o sólido exterior ao cone
e interior ao paraboloide
.
Calcule, utilizando coordenadas esféricas, a integral
em que
é o sólido limitado pelo cone
e pelo plano
.
Calcule as partes real e imaginária de
em função das partes real e imaginária de
a)
a)
Calcule as partes real e imaginária de
em função do modulo e argumento de
b)
b)