Calcule o valor de no ponto . Identifique, se existir, pontos no domínio cujo valor de é real puro. Para esses pontos calcule o valor da função.
a)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma função de uma variável complexa, , e precisamos calcular seu valor no ponto específico . Além disso, queremos identificar se existem pontos onde é um número real puro, ou seja, sem parte imaginária, e calcular o valor da função nesses pontos. Para resolver isso, vamos precisar saber como trabalhar com números complexos, calcular partes reais e imaginárias, e manipular expressões envolvendo essas partes.

Passo 2

Vamos começar calculando no ponto . A função é dada por:
Primeiro, vamos calcular cada termo separadamente para facilitar.

Passo 3

Calculando :
O módulo de um número complexo é , então:

Passo 4

Calculando :
Multiplicamos por :
A parte real é o termo sem , então:
Agora, multiplicamos por 2:

Passo 5

Calculando :
Primeiro calculamos :
Então,
A parte imaginária é o coeficiente de , então:
Agora, multiplicamos por :

Passo 6

Agora, juntamos todos os termos para encontrar :

Passo 7

Agora, vamos identificar os pontos no domínio onde é real puro, ou seja, onde a parte imaginária é zero. Para isso, a parte imaginária de deve ser igual a zero.

Passo 8

A função é:
A parte imaginária é . Queremos que:
Então, precisamos resolver:

Passo 9

Vamos escrever , onde e são números reais. Calculamos :
Então,
A parte imaginária é . Queremos que isso seja zero:

Passo 10

A equação é satisfeita quando ou .
  • Se , então .
  • Se , então .

Passo 11

Agora, vamos calcular para os casos onde é puramente real ( ) ou puramente imaginário ( ).
Caso 1: (puramente real)
Calculamos cada termo:
Então:
Portanto, é real para qualquer número real .
Caso 2: (puramente imaginário)
Calculamos cada termo:
Então:
Nesse caso, também é real para qualquer número real .

Resposta

Os pontos no domínio onde é real puro são todos os números reais e todos os números imaginários . Para esses pontos, o valor da função é:
  • Se (real), então .
  • Se (imaginário), então .

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a)
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b)