Calcule, utilizando coordenadas esféricas, a integral
em que
é o sólido limitado pelo cone
e pelo plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
usando coordenadas esféricas. O sólido
é limitado pelo cone
e pelo plano
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariado, especificamente mudança para coordenadas esféricas para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas esféricas. Nessa coordenada, um ponto no espaço é descrito por três valores:
(a distância da origem),
(o ângulo no plano xy) e
(o ângulo com o eixo z). As relações para converter de coordenadas cartesianas para esféricas são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Vamos reescrever a função que estamos integrando em coordenadas esféricas. A função é:
Então, a integral fica:
Isso simplifica bastante a nossa integral!
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para
,
e
.
- Ângulo
: O cone pode ser reescrito em coordenadas esféricas:
Então,
varia de
a
.
-
Ângulo
: Como o sólido é simétrico em relação ao eixo z, varia de a . -
Raio
: O plano em coordenadas esféricas é , então:
Portanto,
varia de
a
.
Passo 5
Agora que já temos os limites, podemos montar a integral:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Simplificamos a fração
para
:
Vamos integrar agora em relação a
.
Passo 8
A integral de
é
. Assim:
Sabemos que
e
, então:
Simplificando a logaritmo:
Portanto:
Resposta
A integral vale
.