Calcule, utilizando coordenadas esféricas, a integral
em que é o sólido limitado pelo cone e pelo plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
usando coordenadas esféricas. O sólido é limitado pelo cone e pelo plano . Isso envolve conceitos de cálculo multivariado, especificamente mudança para coordenadas esféricas para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas esféricas. Nessa coordenada, um ponto no espaço é descrito por três valores: (a distância da origem), (o ângulo no plano xy) e (o ângulo com o eixo z). As relações para converter de coordenadas cartesianas para esféricas são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Vamos reescrever a função que estamos integrando em coordenadas esféricas. A função é:
Então, a integral fica:
Isso simplifica bastante a nossa integral!

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para , e .
  1. Ângulo : O cone pode ser reescrito em coordenadas esféricas:
Então, varia de a .
  1. Ângulo : Como o sólido é simétrico em relação ao eixo z, varia de a .
  2. Raio : O plano em coordenadas esféricas é , então:
Portanto, varia de a .

Passo 5

Agora que já temos os limites, podemos montar a integral:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 7

Simplificamos a fração para :
Vamos integrar agora em relação a .

Passo 8

A integral de é . Assim:
Sabemos que e , então:
Simplificando a logaritmo:
Portanto:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Utilizando o conceito de derivada, identifique se a função é derivável em algum ponto e no caso positivo obtenha a regra de derivação da função e calcule o valor da derivada em um ponto escolhido adequadamente.
c)
Identifique se as funções abaixo são contínuas no ponto zo. Justifique suas respostas
d)
Calcule, utilizando coordenadas cilíndricas, a integral
em que é o sólido exterior ao cone e interior ao paraboloide .
Calcule o valor de no ponto . Identifique, se existir, pontos no domínio cujo valor de é real puro. Para esses pontos calcule o valor da função.
a)