Calcule, utilizando coordenadas esféricas, a integral
em que é o sólido limitado pelo cone e pelo plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
usando coordenadas esféricas. O sólido é limitado pelo cone e pelo plano . Isso envolve conceitos de cálculo multivariado, especificamente mudança para coordenadas esféricas para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas esféricas. Nessa coordenada, um ponto no espaço é descrito por três valores: (a distância da origem), (o ângulo no plano xy) e (o ângulo com o eixo z). As relações para converter de coordenadas cartesianas para esféricas são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Vamos reescrever a função que estamos integrando em coordenadas esféricas. A função é:
Então, a integral fica:
Isso simplifica bastante a nossa integral!
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para , e .
Ângulo : O cone pode ser reescrito em coordenadas esféricas:
Então, varia de a .
Ângulo : Como o sólido é simétrico em relação ao eixo z, varia de a .
Raio : O plano em coordenadas esféricas é , então:
Portanto, varia de a .
Passo 5
Agora que já temos os limites, podemos montar a integral: