Calcule, utilizando coordenadas esféricas, a integral
integral triplaE 1x^2+y^2+z^2 d V
em que E é o sólido limitado pelo cone z=raizx^2+y^2 e pelo plano z=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
integral triplaE 1x^2+y^2+z^2 , d V
usando coordenadas esféricas. O sólido é limitado pelo cone e pelo plano . Isso envolve conceitos de cálculo multivariado, especificamente mudança para coordenadas esféricas para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas esféricas. Nessa coordenada, um ponto no espaço é descrito por três valores: x = rho sin phi cos theta y = rho sin phi sin theta z = rho cos phi (a distância da origem), dV = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta (o ângulo no plano xy) e (o ângulo com o eixo z). As relações para converter de coordenadas cartesianas para esféricas são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Vamos reescrever a função que estamos integrando em coordenadas esféricas. A função é:
1x^2+y^2+z^2 = 1rho^2
Então, a integral fica:
integral triplaE 1rho^2 cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta = integral triplaE sin phi , drho , dphi , dtheta
Isso simplifica bastante a nossa integral!

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para rho cos phi = rho sin phi implies tan phi = 1 implies phi = pi4 , rho = 2cos phi e .
  1. Ângulo : O cone pode ser reescrito em coordenadas esféricas:
Então, varia de a .
  1. Ângulo : Como o sólido é simétrico em relação ao eixo z, varia de a .
  2. Raio : O plano em coordenadas esféricas é , então:
Portanto, varia de a .

Passo 5

Agora que já temos os limites, podemos montar a integral:
integral0^2pi integral0^pi4 integral0^2cos phi sin phi , drho , dphi , dtheta
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a integral0^2cos phi drho = [ rho ]0^2cos phi = 2cos phi :
integral0^2pi integral0^pi4 sin phi cdot 2cos phi , dphi , dtheta = 2 integral0^2pi integral0^pi4 sin phicos phi , dphi , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 7

Simplificamos a fração 2 integral0^2pi integral0^pi4 tan phi , dphi , dtheta para :
Vamos integrar agora em relação a .

Passo 8

A integral de 2 integral0^2pi [ -ln |cos phi| ]0^pi4 , dtheta = 2 integral0^2pi ( -ln ( cos pi4 ) + ln (1) ) , dtheta é 2 integral0^2pi ( -ln ( raiz22 ) ) , dtheta = 2 integral0^2pi ln ( 2raiz2 ) , dtheta . Assim:
ln ( 2raiz2 ) = ln ( raiz2 ) = 12 ln 2
Sabemos que 2 integral0^2pi cdot 12 ln 2 , dtheta = ln 2 integral0^2pi dtheta = ln 2 cdot 2pi = 2pi ln 2 e , então:
Simplificando a logaritmo:
Portanto:

Resposta

A integral vale .

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