Sejam e dois vetores com módulo igual a . Em cada item, determine o módulo de considerando que o ângulo formado entre e .
(d) .

Passo 1

Então, a gente tem dois vetores, e , cada um com módulo igual a . O ângulo entre eles é de . A missão aqui é descobrir qual é o módulo da soma desses dois vetores, ou seja, . Para fazer isso, vamos usar algumas regras básicas da matemática dos vetores, especialmente a fórmula para a soma de vetores quando conhecemos o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula que nos ajuda a encontrar o módulo da soma de dois vetores quando sabemos o módulo de cada um e o ângulo entre eles. A fórmula é:
Essa fórmula é derivada do teorema do cosseno aplicado aos vetores.

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que já conhecemos na fórmula. Sabemos que , e . Então, substituindo esses valores, temos:

Passo 4

Vamos simplificar os termos dentro da raiz. Sabemos que e . Além disso, . Substituindo esses valores, ficamos com:

Passo 5

Vamos realizar as operações dentro da raiz:
Então:

Resposta

O módulo de é .

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em que é o sólido definido por:
Resp.: .
Calcule, utilizando coordenadas esféricas, o volume do sólido , limitado abaixo pelo plano e acima pela esfera Resp.: .