Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule a integral
em que é o sólido definido por:
Resp.: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla usando coordenadas cilíndricas! O exercício pede para calcular , onde o sólido é definido por . Vamos precisar entender coordenadas cilíndricas e como mudar a integral para esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas. Elas são uma forma de representar pontos no espaço usando três valores: (distância do ponto ao eixo ), (ângulo em relação ao eixo ) e (a altura). A conversão de coordenadas cartesianas para cilíndricas é feita assim:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Vamos substituir isso na nossa integral.

Passo 3

Agora, precisamos entender os limites de integração para , e . A região está definida por . Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
Além disso, para , sabemos que , então varia de 0 a 2. E vai de 0 a para cobrir todo o círculo.

Passo 4

Vamos montar a integral agora com os limites que encontramos:
Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em , depois em e por último em .

Passo 5

Integrando em relação a :
Agora nossa integral fica:

Passo 6

Simplificando e integrando em relação a :
Calculando no limite de :
Isso simplifica para:

Passo 7

Finalmente, multiplicamos pelos fatores que ficaram de fora:
Então, a resposta final é:

Resposta

Exercícios relacionados

Sejam e dois vetores com módulo igual a . Em cada item, determine o módulo de considerando que o ângulo formado entre e .
(d) .
(a) Se a série diverge em , então ela diverge em .
Calcule, utilizando coordenadas esféricas, o volume do sólido , limitado abaixo pelo plano e acima pela esfera Resp.: .
Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de para os quais existe:
11.
12.