Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule a integral
integral triplaE z d V
em que E é o sólido definido por:
1 <= z <= raiz4-x^2-y^2
Resp.: 9 pi4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla usando coordenadas cilíndricas! O exercício pede para calcular , onde o sólido é definido por . Vamos precisar entender coordenadas cilíndricas e como mudar a integral para esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas. Elas são uma forma de representar pontos no espaço usando três valores: x = r cos theta, y = r sin theta, z = z (distância do ponto ao eixo dV = r , dr , dtheta , dz ), (ângulo em relação ao eixo ) e (a altura). A conversão de coordenadas cartesianas para cilíndricas é feita assim:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Vamos substituir isso na nossa integral.

Passo 3

Agora, precisamos entender os limites de integração para 1 <= z <= raiz4 - r^2 , e . A região está definida por . Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
Além disso, para , sabemos que , então varia de 0 a 2. E vai de 0 a para cobrir todo o círculo.

Passo 4

Vamos montar a integral agora com os limites que encontramos:
integral triplaE z , dV = integral0^2pi integral0^2 integral1^raiz4 - r^2 z cdot r , dz , dr , dtheta
Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em , depois em e por último em .

Passo 5

Integrando em relação a integral1^raiz4 - r^2 z , dz = [ z^22 ]1^raiz4 - r^2 = (4 - r^2)2 - 12 = 3 - r^22 :
integral0^2pi integral0^2 3 - r^22 cdot r , dr , dtheta
Agora nossa integral fica:

Passo 6

Simplificando e integrando em relação a 12 integral0^2pi integral0^2 (3r - r^3) , dr , dtheta = 12 integral0^2pi [ 3r^22 - r^44 ]0^2 , dtheta :
12 integral0^2pi ( 3 cdot 42 - 164 ) , dtheta = 12 integral0^2pi (6 - 4) , dtheta = 12 integral0^2pi 2 , dtheta
Calculando no limite de 12 cdot 2 integral0^2pi dtheta = integral0^2pi dtheta = 2pi :
Isso simplifica para:

Passo 7

Finalmente, multiplicamos pelos fatores que ficaram de fora:
9pi4
Então, a resposta final é:

Resposta

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