Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule a integral
em que é o sólido definido por:
Resp.: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla usando coordenadas cilíndricas! O exercício pede para calcular , onde o sólido é definido por . Vamos precisar entender coordenadas cilíndricas e como mudar a integral para esse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas. Elas são uma forma de representar pontos no espaço usando três valores: (distância do ponto ao eixo ), (ângulo em relação ao eixo ) e (a altura). A conversão de coordenadas cartesianas para cilíndricas é feita assim:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Vamos substituir isso na nossa integral.
Passo 3
Agora, precisamos entender os limites de integração para , e . A região está definida por . Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
Além disso, para , sabemos que , então varia de 0 a 2. E vai de 0 a para cobrir todo o círculo.
Passo 4
Vamos montar a integral agora com os limites que encontramos:
Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em , depois em e por último em .
Passo 5
Integrando em relação a :
Agora nossa integral fica:
Passo 6
Simplificando e integrando em relação a :
Calculando no limite de :
Isso simplifica para:
Passo 7
Finalmente, multiplicamos pelos fatores que ficaram de fora: