Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule a integral
em que
é o sólido definido por:
Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla usando coordenadas cilíndricas! O exercício pede para calcular
, onde o sólido
é definido por
. Vamos precisar entender coordenadas cilíndricas e como mudar a integral para esse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas. Elas são uma forma de representar pontos no espaço usando três valores:
(distância do ponto ao eixo
),
(ângulo em relação ao eixo
) e
(a altura). A conversão de coordenadas cartesianas
para cilíndricas é feita assim:
E o elemento de volume
em coordenadas cilíndricas é:
Vamos substituir isso na nossa integral.
Passo 3
Agora, precisamos entender os limites de integração para
,
e
. A região
está definida por
. Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
Além disso, para
, sabemos que
, então
varia de 0 a 2. E
vai de 0 a
para cobrir todo o círculo.
Passo 4
Vamos montar a integral agora com os limites que encontramos:
Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em
, depois em
e por último em
.
Passo 5
Integrando em relação a
:
Agora nossa integral fica:
Passo 6
Simplificando e integrando em relação a
:
Calculando no limite de
:
Isso simplifica para:
Passo 7
Finalmente, multiplicamos pelos fatores que ficaram de fora:
Então, a resposta final é: