Calcule utilizando integração por partes.
(h)

Passo 1

Beleza, vamos começar pelo básico. A gente precisa calcular a integral de usando a técnica de integração por partes. Isso faz parte do estudo de integrais no cálculo, e a integração por partes é uma ferramenta super útil quando estamos lidando com o produto de duas funções. Vamos precisar identificar quais partes da nossa integral vão ser e para aplicar a fórmula certa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
Nesse caso, temos que escolher quais partes da nossa integral serão e . Uma boa estratégia é deixar ser a parte que simplifica quando derivamos. Então, vamos escolher:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar e . Vamos começar derivando :
Em seguida, integramos para encontrar :

Passo 4

Com , , e definidos, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando a integral restante:

Passo 5

Agora, temos uma nova integral para resolver: . Vamos usar novamente a integração por partes para resolver essa parte. Escolhemos:

Passo 6

Encontramos e :

Passo 7

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 8

Voltando à expressão anterior onde tínhamos:
Substituímos a integral que acabamos de resolver:
Simplificando os termos:

Resposta

Portanto, a integral de é:
Onde é a constante de integração.

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Calcule as integrais utilizando o método da substituição.
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Nos Exercicios de 27 a 30, determine se o limite existe.

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Boa sorte