Calcule utilizando integração por partes.
(h)
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Passo 1
Beleza, vamos começar pelo básico. A gente precisa calcular a integral de
usando a técnica de integração por partes. Isso faz parte do estudo de integrais no cálculo, e a integração por partes é uma ferramenta super útil quando estamos lidando com o produto de duas funções. Vamos precisar identificar quais partes da nossa integral vão ser
e
para aplicar a fórmula certa.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
Nesse caso, temos que escolher quais partes da nossa integral serão
e
. Uma boa estratégia é deixar
ser a parte que simplifica quando derivamos. Então, vamos escolher:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
. Vamos começar derivando
:
Em seguida, integramos
para encontrar
:
Passo 4
Com
,
,
e
definidos, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando a integral restante:
Passo 5
Agora, temos uma nova integral para resolver:
. Vamos usar novamente a integração por partes para resolver essa parte. Escolhemos:
Passo 6
Encontramos
e
:
Passo 7
Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 8
Voltando à expressão anterior onde tínhamos:
Substituímos a integral que acabamos de resolver:
Simplificando os termos:
Resposta
Portanto, a integral de
é:
Onde
é a constante de integração.
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Nos Exercicios de 27 a 30, determine se o limite existe.
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Boa sorte