Calcule utilizando integração por partes.
(h) integral x cdot(ln x)^2

Passo 1

Beleza, vamos começar pelo básico. A gente precisa calcular a integral de usando a técnica de integração por partes. Isso faz parte do estudo de integrais no cálculo, e a integração por partes é uma ferramenta super útil quando estamos lidando com o produto de duas funções. Vamos precisar identificar quais partes da nossa integral vão ser e para aplicar a fórmula certa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Nesse caso, temos que escolher quais partes da nossa integral serão u = (ln x)^2 e dv = x , dx e . Uma boa estratégia é deixar ser a parte que simplifica quando derivamos. Então, vamos escolher:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = ddx ( (ln x)^2 ) , dx = 2 ln x cdot 1x , dx = 2 ln xx , dx e v = integral x , dx = x^22 . Vamos começar derivando :
Em seguida, integramos para encontrar :

Passo 4

Com integral x cdot (ln x)^2 , dx = u cdot v - integral v , du , = (ln x)^2 cdot x^22 - integral x^22 cdot 2 ln xx , dx , = x^2 (ln x)^22 - integral x ln x , dx e definidos, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando a integral restante:

Passo 5

Agora, temos uma nova integral para resolver: u = ln x e dv = x , dx . Vamos usar novamente a integração por partes para resolver essa parte. Escolhemos:

Passo 6

Encontramos du = 1x , dx e v = integral x , dx = x^22 :

Passo 7

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
integral x ln x , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores:
= ln x cdot x^22 - integral x^22 cdot 1x , dx
Simplificando:
= x^2 ln x2 - 12 integral x , dx
= x^2 ln x2 - 12 cdot x^22 + C
= x^2 ln x2 - x^24 + C

Passo 8

Voltando à expressão anterior onde tínhamos:
integral x cdot (ln x)^2 , dx = x^2 (ln x)^22 - integral x ln x , dx
Substituímos a integral que acabamos de resolver:
= x^2 (ln x)^22 - ( x^2 ln x2 - x^24 ) + C
Simplificando os termos:
= x^2 (ln x)^22 - x^2 ln x2 + x^24 + C

Resposta

Portanto, a integral de x^2 (ln x)^22 - x^2 ln x2 + x^24 + C é:
Onde é a constante de integração.

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