Nos Exercícios de 17 a 22, prove que para a função
dada,
não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o limite da função
quando
se aproxima de
não existe. Vamos usar conceitos de limites de funções de duas variáveis e analisar diferentes caminhos para ver se o limite é o mesmo em todos eles.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular o limite de uma função de duas variáveis em um ponto. Para que o limite exista, o valor da função deve se aproximar do mesmo número independente do caminho que escolhemos para chegar nesse ponto. Se encontrarmos dois caminhos que dão resultados diferentes, isso prova que o limite não existe.
Passo 3
Vamos testar o limite ao longo do eixo x, ou seja, quando
. Substituindo na função:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos testar o limite ao longo da linha
. Substituindo:
Então,
.
Passo 5
Observamos que ao longo do eixo x, o limite é 1, mas ao longo da linha
, o limite é
. Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, concluímos que o limite geral quando
não existe.
Resposta
O limite
não existe.
Exercícios relacionados
Exercícios de 9 a 16, estabeleça o limite, encontrando um
correspondente a qualquer
, tal que a Definição 16.2.5 seja válida.
d)
sabendo que
.
Calcule as integrais utilizando o método da substituição.
(n)
(n)
Calcule utilizando integração por partes.
(e)
(e)