Nos Exercícios de 17 a 22, prove que para a função dada, não existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o limite da função quando se aproxima de não existe. Vamos usar conceitos de limites de funções de duas variáveis e analisar diferentes caminhos para ver se o limite é o mesmo em todos eles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular o limite de uma função de duas variáveis em um ponto. Para que o limite exista, o valor da função deve se aproximar do mesmo número independente do caminho que escolhemos para chegar nesse ponto. Se encontrarmos dois caminhos que dão resultados diferentes, isso prova que o limite não existe.

Passo 3

Vamos testar o limite ao longo do eixo x, ou seja, quando . Substituindo na função:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos testar o limite ao longo da linha . Substituindo:
Então, .

Passo 5

Observamos que ao longo do eixo x, o limite é 1, mas ao longo da linha , o limite é . Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, concluímos que o limite geral quando não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados

Exercícios de 9 a 16, estabeleça o limite, encontrando um correspondente a qualquer , tal que a Definição 16.2.5 seja válida.
d) sabendo que .
Calcule as integrais utilizando o método da substituição.
(n)
Calcule utilizando integração por partes.
(e)