Calcule utilizando integração por partes.
(m) integral e^-2 x sen x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral u , dv = u , v - integral v , du usando integração por partes. Nesse problema, vamos trabalhar com funções exponenciais e trigonométricas. Para isso, precisamos lembrar da fórmula de integração por partes:
Vamos identificar partes da nossa integral que correspondem a e .

Passo 2

Primeiro, escolhemos u = e^-2x Rightarrow du = -2 e^-2x , dx . Então, vamos derivar dv = sin x , dx Rightarrow v = -cos x para encontrar :
Agora, definimos e integramos para achar :

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral e^-2x sin x , dx = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= e^-2x cdot (-cos x) - integral (-cos x) cdot (-2 e^-2x) , dx
Simplificando:
= -e^-2x cos x - 2 integral e^-2x cos x , dx

Passo 4

Agora, precisamos resolver a nova integral u = e^-2x Rightarrow du = -2 e^-2x , dx . Vamos usar integração por partes novamente. Desta vez, escolhemos:
dv = cos x , dx Rightarrow v = sin x
integral e^-2x cos x , dx = e^-2x sin x - integral sin x cdot (-2 e^-2x) , dx
Aplicando a fórmula:
= e^-2x sin x + 2 integral e^-2x sin x , dx
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos a seguinte equação:
integral e^-2x sin x , dx = -e^-2x cos x - 2 ( e^-2x sin x + 2 integral e^-2x sin x , dx )
Distribuindo o -2:
integral e^-2x sin x , dx = -e^-2x cos x - 2 e^-2x sin x - 4 integral e^-2x sin x , dx
Vamos chamar a integral original de I = -e^-2x cos x - 2 e^-2x sin x - 4I :

Passo 6

Agora, somamos I + 4I = -e^-2x cos x - 2 e^-2x sin x em ambos os lados para isolar 5I = -e^-2x (cos x + 2 sin x) :
I = -15 e^-2x (cos x + 2 sin x) + C
Dividindo ambos os lados por 5:

Resposta

integral e^-2x sin x , dx = -15 e^-2x (cos x + 2 sin x) + C

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