Calcule utilizando L lim x 0(cos 2 x)^1 / x^2

Passo 1

Vamos calcular o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites, especificamente usando a regra de L’Hospital. Precisamos entender como funções exponenciais e trigonométricas se comportam quando se aproxima de 0 e como aplicar a regra de L’Hospital para resolver esse tipo de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando logaritmos. Tomar o logaritmo natural dos dois lados do limite nos ajuda a lidar com a potência que envolve ln L = limx 0 ln(cos 2x)x^2 . Seja . Então, tomando o logaritmo natural de ambos os lados:

Passo 3

Agora, focamos no limite . Quando se aproxima de 0, se aproxima de 1, então se aproxima de 0. Também, se aproxima de 0. Isso nos dá uma indeterminação do tipo , onde podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hospital, derivamos o numerador e o denominador em relação a ddx ln(cos 2x) = -2 sin 2xcos 2x = -2 tan 2x :
Derivada do numerador:
ddx x^2 = 2x
Derivada do denominador:

Passo 5

Substituímos as derivadas no limite:
limx 0 -2 tan 2x2x = limx 0 -tan 2xx
Sabemos que limx 0 -2xx = limx 0 -2 = -2 quando se aproxima de 0. Portanto:

Passo 6

Lembrando que L = e^-2 , para encontrar , aplicamos a função exponencial dos dois lados:

Resposta

O limite é igual a .

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