Calcule utilizando L
Passo 1
Vamos calcular o limite
. Aqui, estamos trabalhando com limites, especificamente usando a regra de L’Hospital. Precisamos entender como funções exponenciais e trigonométricas se comportam quando
se aproxima de 0 e como aplicar a regra de L’Hospital para resolver esse tipo de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão usando logaritmos. Tomar o logaritmo natural dos dois lados do limite nos ajuda a lidar com a potência que envolve
. Seja
. Então, tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 3
Agora, focamos no limite
. Quando
se aproxima de 0,
se aproxima de 1, então
se aproxima de 0. Também,
se aproxima de 0. Isso nos dá uma indeterminação do tipo
, onde podemos aplicar a regra de L’Hospital.
Passo 4
Aplicando a regra de L’Hospital, derivamos o numerador e o denominador em relação a
:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Passo 5
Substituímos as derivadas no limite:
Sabemos que
quando
se aproxima de 0. Portanto:
Passo 6
Lembrando que
, para encontrar
, aplicamos a função exponencial dos dois lados:
Resposta
O limite
é igual a
.