Verifique se a funçâo satisfaz o Teorema do Valor Médio no intervalo indicado , caso afirmativo, determine todos tais que .
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função satisfaz o Teorema do Valor Médio no intervalo . Para isso, precisamos entender o que é o Teorema do Valor Médio e quais condições a função precisa atender para aplicá-lo. Vamos precisar saber sobre continuidade, derivabilidade e calcular a derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Valor Médio. Ele afirma que se uma função é contínua no intervalo fechado e derivável no intervalo aberto , então existe pelo menos um ponto em tal que:
Portanto, nosso primeiro passo é verificar se atende a essas condições no intervalo .

Passo 3

Vamos verificar a continuidade. A função é um polinômio, e os polinômios são contínuos em todos os pontos do seu domínio. Então, é contínua no intervalo .

Passo 4

Agora, vamos verificar a derivabilidade. Novamente, como é um polinômio, ela é derivável em todos os pontos do seu domínio, incluindo o intervalo aberto . Portanto, também é derivável nesse intervalo.

Passo 5

Como a função é contínua em e derivável em , podemos aplicar o Teorema do Valor Médio. Agora, precisamos calcular , onde e .
Primeiro, vamos calcular e :
Agora, calculamos a média das diferenças:

Passo 6

Em seguida, precisamos encontrar a derivada de para encontrar . Vamos calcular:
A derivada de é:

Passo 7

Agora, aplicando o Teorema do Valor Médio, sabemos que existe pelo menos um em tal que:
Então, vamos resolver a equação:
Subtraindo 2 de ambos os lados:

Passo 8

Agora, resolvemos a equação quadrática . Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :
Simplificando:

Passo 9

Agora, verificamos se os valores de estão dentro do intervalo :
O valor está fora do intervalo , então descartamos. Já está dentro do intervalo.

Resposta

Sim, a função satisfaz o Teorema do Valor Médio no intervalo . O valor de que satisfaz é aproximadamente .

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Mostre que as seguintes funçōes nāo possuem pontos críticos:
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Multiplique
Divida:
Calcule utilizando L