Verifique se a funçâo
satisfaz o Teorema do Valor Médio no intervalo indicado
, caso afirmativo, determine todos
tais que
.
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função
satisfaz o Teorema do Valor Médio no intervalo
. Para isso, precisamos entender o que é o Teorema do Valor Médio e quais condições a função precisa atender para aplicá-lo. Vamos precisar saber sobre continuidade, derivabilidade e calcular a derivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Valor Médio. Ele afirma que se uma função
é contínua no intervalo fechado
e derivável no intervalo aberto
, então existe pelo menos um ponto
em
tal que:
Portanto, nosso primeiro passo é verificar se
atende a essas condições no intervalo
.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade. A função
é um polinômio, e os polinômios são contínuos em todos os pontos do seu domínio. Então,
é contínua no intervalo
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a derivabilidade. Novamente, como
é um polinômio, ela é derivável em todos os pontos do seu domínio, incluindo o intervalo aberto
. Portanto,
também é derivável nesse intervalo.
Passo 5
Como a função
é contínua em
e derivável em
, podemos aplicar o Teorema do Valor Médio. Agora, precisamos calcular
, onde
e
.
Primeiro, vamos calcular
e
:
Agora, calculamos a média das diferenças:
Passo 6
Em seguida, precisamos encontrar a derivada de
para encontrar
. Vamos calcular:
A derivada de
é:
Passo 7
Agora, aplicando o Teorema do Valor Médio, sabemos que existe pelo menos um
em
tal que:
Então, vamos resolver a equação:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Passo 8
Agora, resolvemos a equação quadrática
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
:
Simplificando:
Passo 9
Agora, verificamos se os valores de
estão dentro do intervalo
:
O valor
está fora do intervalo
, então descartamos. Já
está dentro do intervalo.
Resposta
Sim, a função
satisfaz o Teorema do Valor Médio no intervalo
. O valor de
que satisfaz
é aproximadamente
.
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Mostre que as seguintes funçōes nāo possuem pontos críticos:
;
Multiplique
Divida:
Calcule utilizando L