Calcule utilizando o método de Frações Parciais. .
(o)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral usando o método de Frações Parciais. Isso envolve álgebra de polinômios e integração. Primeiro, precisamos simplificar a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Observamos que o grau do numerador ( ) é maior que o do denominador ( ). Nesses casos, fazemos uma divisão polinomial para deixar a fração em uma forma onde o numerador tenha grau menor que o denominador.

Passo 3

Vamos dividir por .
Começamos dividindo por , o que dá . Multiplicamos por e subtraímos do numerador:

Passo 4

Agora, temos a fração simplificada:
Vamos focar na parte da fração para usar as Frações Parciais.

Passo 5

Primeiro, fatoramos o denominador :

Passo 6

Agora, escrevemos a fração como soma de frações parciais:

Passo 7

Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Simplificando:

Passo 8

Agrupamos os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de :

Passo 9

Resolvemos o sistema de equações:
Primeiro, da terceira equação: implica que .
Depois, da segunda equação: .
Finalmente, da primeira equação: então .

Passo 10

Agora, substituímos , e na expressão das frações parciais:

Passo 11

Voltando à integral original, temos:

Passo 12

Vamos integrar termo a termo:
  1. Para , observamos que o numerador é uma combinação linear da derivada do denominador. Então, isso se integra facilmente:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais homogêneo de primeira ordem dado.
(a)
Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
(b)
(Diluição de soluções) Um reservatório contendo litros de água pura começa a receber uma solução de água salgada ( de sal por litro de solução) a uma razão constante de litros por segundo.
Um mecanismo de agitação no reservatório mantém homogênea a solução que vai sendo formada. Simultaneamente ao processo de injeção de água salgada, retira-se do reservatório a solução formada na razão de litros por segundo.
(a) Determine a quantidade de sal no reservatório num instante futuro.
(b) Determine o valor limite para a concentração de sal na solução.
Sugestão: Seja a quantidade de sal (em kg) presente no reservatório em um instante de tempo . Inicialmente, . No texto podemos determinar em cada instante de tempo a taxa de variação de com o tempo como o resultado da diferença entre a quantidade de sal que entra no reservatório por unidade de tempo menos a quantidade de sal que sai do reservatório por unidade de tempo.
Resposta:
Determinar os pontos críticos da função dada e classifique-os em ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão:
(b)