Calcule utilizando o método de Frações Parciais. .
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral usando o método de Frações Parciais. Isso envolve álgebra de polinômios e integração. Primeiro, precisamos simplificar a fração para facilitar a integração.
Passo 2
Observamos que o grau do numerador () é maior que o do denominador (). Nesses casos, fazemos uma divisão polinomial para deixar a fração em uma forma onde o numerador tenha grau menor que o denominador.
Passo 3
Vamos dividir por .
Começamos dividindo por , o que dá . Multiplicamos por e subtraímos do numerador:
Passo 4
Agora, temos a fração simplificada:
Vamos focar na parte da fração para usar as Frações Parciais.
Passo 5
Primeiro, fatoramos o denominador :
Passo 6
Agora, escrevemos a fração como soma de frações parciais:
Passo 7
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Passo 8
Agrupamos os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de :
Passo 9
Resolvemos o sistema de equações:
Primeiro, da terceira equação: implica que .
Depois, da segunda equação: .
Finalmente, da primeira equação: então .
Passo 10
Agora, substituímos , e na expressão das frações parciais:
Passo 11
Voltando à integral original, temos:
Passo 12
Vamos integrar termo a termo:
Para , observamos que o numerador é uma combinação linear da derivada do denominador. Então, isso se integra facilmente: