(Diluição de soluções) Um reservatório contendo litros de água pura começa a receber uma solução de água salgada ( de sal por litro de solução) a uma razão constante de litros por segundo.
Um mecanismo de agitação no reservatório mantém homogênea a solução que vai sendo formada. Simultaneamente ao processo de injeção de água salgada, retira-se do reservatório a solução formada na razão de litros por segundo.
(a) Determine a quantidade de sal no reservatório num instante futuro.
(b) Determine o valor limite para a concentração de sal na solução.
Sugestão: Seja a quantidade de sal (em kg) presente no reservatório em um instante de tempo . Inicialmente, . No texto podemos determinar em cada instante de tempo a taxa de variação de com o tempo como o resultado da diferença entre a quantidade de sal que entra no reservatório por unidade de tempo menos a quantidade de sal que sai do reservatório por unidade de tempo.
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre diluição de soluções. Temos um reservatório com litros de água pura que começa a receber uma solução salgada com concentração kg de sal por litro, na taxa de litros por segundo. Além disso, a solução é bem misturada e está saindo do reservatório na mesma taxa litros por segundo. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo diferencial para determinar a quantidade de sal no reservatório ao longo do tempo e o comportamento dessa quantidade quando o tempo tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos definir como a quantidade de sal, em quilogramas, no reservatório em um instante de tempo . Inicialmente, não tem sal, então .

Passo 3

Agora, vamos pensar nas taxas de entrada e saída de sal no reservatório:
  • Entrada de sal: A solução que entra tem concentração kg/litro e entra a uma taxa de litros por segundo. Então, a taxa de entrada de sal é kg por segundo.
  • Saída de sal: A solução que sai tem a mesma concentração da que está no reservatório, já que está bem misturada. A concentração no reservatório no tempo é kg/litro. Como a taxa de saída é litros por segundo, a taxa de saída de sal é kg por segundo.

Passo 4

A taxa de variação da quantidade de sal no reservatório é a diferença entre a taxa de entrada e a taxa de saída:
í

Passo 5

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, podemos rearranjar os termos:

Passo 6

Vamos encontrar um fator integrante para resolver essa equação. O fator integrante é dado por:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Resolvendo a integral:
Então:

Passo 10

Dividindo ambos os lados por :

Passo 11

Usamos a condição inicial para encontrar :

Passo 12

Substituindo na expressão de :

Resposta

A quantidade de sal no reservatório em um instante de tempo é:
E o valor limite para a concentração de sal na solução, quando tende ao infinito, é:

Exercícios relacionados

Calcule utilizando o método de Frações Parciais. .
(o)
Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais homogêneo de primeira ordem dado.
(a)
Determinar os pontos críticos da função dada e classifique-os em ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão:
(b)
(*) Resolva o problema de valor inicial
e esboce o gráfico de , que descreve a evolução com o tempo de uma população segundo o modelo de Gompertz (empregado para modelar crescimentos celulares em plantas, bactérias, tumores, etc).
Explique brevemente este modelo.
Qual é o valor da população limite ?
Sugestão: Fazer a mudança de variável , que produz uma EDO separável para .
Resposta: