Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais homogêneo de primeira ordem dado.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral de um sistema homogêneo de primeira ordem. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares, e para resolver esse tipo de sistema, precisamos usar conceitos de álgebra linear, como autovalores (também conhecidos como valores próprios) e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações diferenciais de forma matricial:
Onde é a matriz dos coeficientes dada por:

Passo 3

Para encontrar a solução geral, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade de ordem 2.

Passo 4

Vamos calcular :
A determinante dessa matriz é:

Passo 5

Expandindo a expressão:
Então, a equação característica fica:

Passo 6

Vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :

Passo 7

Agora que temos os autovalores complexos , sabemos que a solução geral do sistema será da forma:
Onde , , e é o autovetor correspondente.

Passo 8

Vamos encontrar o autovetor correspondente a .
Resolvemos :
Isso nos dá o sistema:
Da primeira equação, . Podemos escolher , então .

Passo 9

Substituindo tudo na solução geral:
Isso simplifica para:

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
(b)
Determine se é um ponto ordinário ou um ponto singular regular da equação diferencial . Use o método de solução em série apropriado para obter duas soluções em série linearmente independentes da equação em torno de .
Calcule utilizando o método de Frações Parciais. .
(o)
(Diluição de soluções) Um reservatório contendo litros de água pura começa a receber uma solução de água salgada ( de sal por litro de solução) a uma razão constante de litros por segundo.
Um mecanismo de agitação no reservatório mantém homogênea a solução que vai sendo formada. Simultaneamente ao processo de injeção de água salgada, retira-se do reservatório a solução formada na razão de litros por segundo.
(a) Determine a quantidade de sal no reservatório num instante futuro.
(b) Determine o valor limite para a concentração de sal na solução.
Sugestão: Seja a quantidade de sal (em kg) presente no reservatório em um instante de tempo . Inicialmente, . No texto podemos determinar em cada instante de tempo a taxa de variação de com o tempo como o resultado da diferença entre a quantidade de sal que entra no reservatório por unidade de tempo menos a quantidade de sal que sai do reservatório por unidade de tempo.
Resposta: