Determinar os pontos críticos da função dada e classifique-os em ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar os pontos críticos da função e classificá-los como ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas.

Passo 2

Primeiro, o que são pontos críticos? São os valores de onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. Esses pontos ajudam a identificar onde a função pode ter máximos, mínimos ou mudanças na concavidade.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada da função :

Passo 4

Agora, encontramos os pontos críticos resolvendo :
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 6

Para classificar esse ponto crítico, precisamos analisar a concavidade da função nesse ponto. Vamos calcular a segunda derivada :

Passo 7

Avaliamos a segunda derivada em :
Quando a segunda derivada é zero, o teste da segunda derivada é inconclusivo. Então, precisamos verificar o comportamento da primeira derivada ao redor de .

Passo 8

Vamos escolher valores próximos a para ver como se comporta:
  • Para , digamos :
  • Para , digamos :

Passo 9

Observamos que a derivada é positiva tanto para quanto para . Isso significa que a função está aumentando antes e depois de , sem mudar a direção da inclinação. Portanto, não é um ponto de máximo ou mínimo, mas sim um ponto de inflexão, onde a concavidade da função muda.

Resposta

A função tem um ponto crítico em , e esse ponto é um ponto de inflexão.

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(Diluição de soluções) Um reservatório contendo litros de água pura começa a receber uma solução de água salgada ( de sal por litro de solução) a uma razão constante de litros por segundo.
Um mecanismo de agitação no reservatório mantém homogênea a solução que vai sendo formada. Simultaneamente ao processo de injeção de água salgada, retira-se do reservatório a solução formada na razão de litros por segundo.
(a) Determine a quantidade de sal no reservatório num instante futuro.
(b) Determine o valor limite para a concentração de sal na solução.
Sugestão: Seja a quantidade de sal (em kg) presente no reservatório em um instante de tempo . Inicialmente, . No texto podemos determinar em cada instante de tempo a taxa de variação de com o tempo como o resultado da diferença entre a quantidade de sal que entra no reservatório por unidade de tempo menos a quantidade de sal que sai do reservatório por unidade de tempo.
Resposta:
Calcule utilizando o método de Frações Parciais. .
(o)
(*) Resolva o problema de valor inicial
e esboce o gráfico de , que descreve a evolução com o tempo de uma população segundo o modelo de Gompertz (empregado para modelar crescimentos celulares em plantas, bactérias, tumores, etc).
Explique brevemente este modelo.
Qual é o valor da população limite ?
Sugestão: Fazer a mudança de variável , que produz uma EDO separável para .
Resposta:
Resolva as seguintes equações diferenciais:
(a)
(b)(*)
©
Sugestão: (a) exata, (b), © redutíveis a equações exatas. Respostas:
(a)
(b)
©