Calcule utilizando o método de Frações Parciais.
§ integral 2(x+2)(x-1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o método de Frações Parciais. O exercício pede para calcular:
integral 2(x+2)(x-1)^2 , dx
Aqui, vamos precisar entender como decompor a fração em partes mais simples para facilitar a integração. O conteúdo principal que vamos usar é a decomposição de frações parciais, que é uma técnica para quebrar frações racionais em soma de frações mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração que temos de uma forma que possamos aplicar o método de Frações Parciais. A ideia é expressar a fração original como uma soma de frações com denominadores mais simples.
Temos:
2(x+2)(x-1)^2
Os denominadores (x+2) e (x-1)^2 são fatores distintos, então nossa decomposição vai ter a seguinte forma:
2(x+2)(x-1)^2 = Ax+2 + Bx-1 + C(x-1)^2
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de A, B e C. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum (x+2)(x-1)^2 para eliminar os denominadores:
2 = A(x-1)^2 + B(x+2)(x-1) + C(x+2)
Agora, expandimos os termos para simplificar:
2 = A(x^2 - 2x + 1) + B(x^2 + x - 2) + C(x + 2)
2 = (A + B)x^2 + (-2A + B + C)x + (A - 2B + 2C)

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação. Pelo lado esquerdo, temos apenas o termo constante 2, o que significa que os coeficientes de x^2 e x devem ser zero:
A + B = 0 -2A + B + C = 0 A - 2B + 2C = 2
Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, temos A = -B. Substituindo A = -B na segunda equação:
-2(-B) + B + C = 0 2B + B + C = 0 3B + C = 0 C = -3B
Agora, substituímos A = -B e C = -3B na terceira equação:
-B - 2B + 2(-3B) = 2 -3B - 6B = 2 -9B = 2 B = -29
Então, A = -B = 29 e C = -3B = 69 = 23.

Passo 5

Com os valores de A, B e C encontrados, podemos reescrever a fração original:
2(x+2)(x-1)^2 = 29x+2 + -29x-1 + 23(x-1)^2
Simplificando:
2(x+2)(x-1)^2 = 29(x+2) - 29(x-1) + 23(x-1)^2

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2(x+2)(x-1)^2 , dx = 29 integral 1x+2 , dx - 29 integral 1x-1 , dx + 23 integral 1(x-1)^2 , dx
Calculando cada integral:
  1. 29 integral 1x+2 , dx = 29 ln|x+2| + C1
  2. - 29 integral 1x-1 , dx = -29 ln|x-1| + C2
  3. 23 integral 1(x-1)^2 , dx = 23 ( -1x-1 ) + C3 = -23(x-1) + C3

Resposta

Juntando tudo e absorvendo as constantes, a solução da integral é:
29 ln|x+2| - 29 ln|x-1| - 23(x-1) + C
Onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule os limites justificando cada passagem pelas Leis do Limite que forem usadas.
8. lim u -2 raizm^4+3 n+6
Calcule utilizando substituições trigonométricas.
(a) integral d xraiz9+x^2
Calcule utilizando substituições trigonométricas.
(b) integral-2^2 d xraiz4+x^2
Utilizando as técnicas de integrais imediatas, integre: integral(8 x^3-6 x^2+5 x-1x^3+x raizx-2) d x