Calcule utilizando o método de Frações Parciais.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando o método de Frações Parciais. O exercício pede para calcular:
Aqui, vamos precisar entender como decompor a fração em partes mais simples para facilitar a integração. O conteúdo principal que vamos usar é a decomposição de frações parciais, que é uma técnica para quebrar frações racionais em soma de frações mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fração que temos de uma forma que possamos aplicar o método de Frações Parciais. A ideia é expressar a fração original como uma soma de frações com denominadores mais simples.
Temos:
Os denominadores e são fatores distintos, então nossa decomposição vai ter a seguinte forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de , e . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos os termos para simplificar:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação. Pelo lado esquerdo, temos apenas o termo constante 2, o que significa que os coeficientes de e devem ser zero:
Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, temos A = -B. Substituindo A = -B na segunda equação:
-2(-B) + B + C = 0 2B + B + C = 0 3B + C = 0 C = -3B
Agora, substituímos A = -B e C = -3B na terceira equação:
-B - 2B + 2(-3B) = 2 -3B - 6B = 2 -9B = 2 B = -29
Então, A = -B = 29 e C = -3B = 69 = 23.
Passo 5
Com os valores de A, B e C encontrados, podemos reescrever a fração original:
2(x+2)(x-1)^2 = 29x+2 + -29x-1 + 23(x-1)^2
Simplificando:
2(x+2)(x-1)^2 = 29(x+2) - 29(x-1) + 23(x-1)^2
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2(x+2)(x-1)^2 , dx = 29 integral 1x+2 , dx - 29 integral 1x-1 , dx + 23 integral 1(x-1)^2 , dx