Calcule utilizando substituições trigonométricas.
(b) integral-2^2 d xraiz4+x^2

Passo 1

Vamos resolver a integral definida utilizando substituições trigonométricas. Para isso, vamos usar conhecimentos de trigonometria e cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, observe que a expressão no denominador é . Quando temos , uma substituição trigonométrica útil é . Aqui, , então vamos substituir .

Passo 3

Com a substituição dx = 2 sec^2 theta , dtheta , precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Substituindo integral 2 sec^2 theta , dthetaraiz4 + (2 tan theta)^2 = integral 2 sec^2 theta , dthetaraiz4 + 4 tan^2 theta = integral 2 sec^2 theta , dtheta2 sec theta = integral sec theta , dtheta e na integral original:

Passo 5

A integral ln |sec theta + tan theta| + C é uma integral padrão cujo resultado é:

Passo 6

Agora, voltamos à variável original sec theta = raiz4 + x^22 e tan theta = x2 . Sabemos que:
ln | raiz4 + x^22 + x2 | + C = ln | raiz4 + x^2 + x2 | + C
Portanto, a integral se torna:

Passo 7

Aplicamos os limites de integração de [ ln ( raiz4 + x^2 + x2 ) ]-2^2 a raiz4 + 4 = raiz8 = 2raiz2 :
ln ( 2raiz2 + 22 ) = ln (raiz2 + 1)
Calculamos cada termo:
Para raiz4 + 4 = 2raiz2 :
ln ( 2raiz2 - 22 ) = ln (raiz2 - 1)
Para :

Passo 8

A diferença dos valores é:
ln (raiz2 + 1) - ln (raiz2 - 1) = ln ( raiz2 + 1raiz2 - 1 )
Simplificando multiplicando numerador e denominador por ln ( (raiz2 + 1)^22 - 1 ) = ln ( (raiz2 + 1)^2 ) = 2 ln (raiz2 + 1) :

Resposta

O valor da integral é .

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