Calcule utilizando substituições trigonométricas.
(b)
(b)
Passo 1
Vamos resolver a integral definida
utilizando substituições trigonométricas. Para isso, vamos usar conhecimentos de trigonometria e cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, observe que a expressão no denominador é
. Quando temos
, uma substituição trigonométrica útil é
. Aqui,
, então vamos substituir
.
Passo 3
Com a substituição
, precisamos encontrar
em termos de
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Passo 5
A integral
é uma integral padrão cujo resultado é:
Passo 6
Agora, voltamos à variável original
. Sabemos que:
Portanto, a integral se torna:
Passo 7
Aplicamos os limites de integração de
[ ln ( raiz4 + x^2 + x2 ) ]-2^2 a
raiz4 + 4 = raiz8 = 2raiz2 :
Calculamos cada termo:
Para
raiz4 + 4 = 2raiz2 :
Para
:
Passo 8
A diferença dos valores é:
Simplificando multiplicando numerador e denominador por
ln ( (raiz2 + 1)^22 - 1 ) = ln ( (raiz2 + 1)^2 ) = 2 ln (raiz2 + 1) :
Resposta
O valor da integral é
.
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§
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8.
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