Calcule utilizando substituições trigonométricas.
(a) integral d xraiz9+x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral usando substituições trigonométricas. Isso faz parte da matéria de cálculo integral, onde a gente usa trigonometria para simplificar integrais que têm expressões do tipo . Para resolver, vamos precisar identificar a forma adequada de substituição e aplicar as identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz é , que pode ser escrita como . Isso corresponde à forma , onde . Para esse caso, a substituição trigonométrica ideal é , ou seja, .

Passo 3

Com a substituição dx = 3 sec^2theta , dtheta , precisamos também calcular . Derivando ambos os lados em relação a , temos:
Agora, substituímos e na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral, fica:
integral 3 sec^2theta , dthetaraiz9 + (3 tantheta)^2 = integral 3 sec^2theta , dthetaraiz9 + 9 tan^2theta
Simplificando dentro da raiz:
raiz9(1 + tan^2theta) = 3 raiz1 + tan^2theta = 3 sectheta

Passo 5

Substituindo de novo na integral, temos:
integral 3 sec^2theta , dtheta3 sectheta = integral sectheta , dtheta
A integral de é uma integral conhecida que resulta em mais a constante de integração.

Passo 6

Então, a solução da integral em termos de ln|sectheta + tantheta| + C é:
Agora, precisamos voltar para a variável original .

Passo 7

Lembrando que sectheta = raiz9 + x^23 e tantheta = x3 , podemos desenhar um triângulo retângulo onde o lado oposto a é , o lado adjacente é , e a hipotenusa é . Assim:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão logarítmica:
ln|raiz9 + x^23 + x3| + C = ln|raiz9 + x^2 + x3| + C
Podemos simplificar, já que a constante dentro do log pode ser absorvida na constante geral:
ln|raiz9 + x^2 + x| + C

Resposta

A integral é igual a .

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