Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral usando substituições trigonométricas. Isso faz parte da matéria de cálculo integral, onde a gente usa trigonometria para simplificar integrais que têm expressões do tipo . Para resolver, vamos precisar identificar a forma adequada de substituição e aplicar as identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz é , que pode ser escrita como . Isso corresponde à forma , onde . Para esse caso, a substituição trigonométrica ideal é , ou seja, .
Passo 3
Com a substituição , precisamos também calcular . Derivando ambos os lados em relação a , temos:
Agora, substituímos e na integral original.
Passo 4
Substituindo na integral, fica:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Substituindo de novo na integral, temos:
A integral de é uma integral conhecida que resulta em mais a constante de integração.
Passo 6
Então, a solução da integral em termos de é:
Agora, precisamos voltar para a variável original .
Passo 7
Lembrando que , podemos desenhar um triângulo retângulo onde o lado oposto a é , o lado adjacente é , e a hipotenusa é . Assim:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão logarítmica:
Podemos simplificar, já que a constante dentro do log pode ser absorvida na constante geral: