Calcule utilizando o método de Frações Parciais.
(s) integral x^2+1(x-2)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral usando o método de Frações Parciais. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especialmente quando lidamos com integrais racionais (ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios). Para resolver, vamos precisar decompor a fração em frações menores que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos que vamos decompor. Temos x^2+1(x-2)^3 = Ax-2 + B(x-2)^2 + C(x-2)^3 . Como o denominador é , que é um fator linear repetido, nossa decomposição de frações parciais será da seguinte forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de x^2 + 1 = A(x-2)^2 + B(x-2) + C , (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 e x^2 + 1 = A(x^2 - 4x + 4) + B(x - 2) + C . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por x^2 + 1 = A x^2 - 4A x + 4A + B x - 2B + C para eliminar os denominadores:
x^2 + 1 = (A) x^2 + (-4A + B) x + (4A - 2B + C)
Vamos expandir A = 1 -4A + B = 0 4A - 2B + C = 1 :
Substituindo de volta na equação:
Agora, distribuímos e :
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação, .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Substituindo e na terceira equação: .

Passo 4

Agora que temos os valores de x^2+1(x-2)^3 = 1x-2 + 4(x-2)^2 + 5(x-2)^3 , integral 1x-2 dx + integral 4(x-2)^2 dx + integral 5(x-2)^3 dx e ln|x-2| - 4x-2 - 52(x-2)^2 + C , podemos escrever a decomposição das frações parciais:
Vamos integrar cada termo separadamente:
Lembrando das integrais básicas:
  • (para )
Aplicando isso:

Resposta

A integral calculada é:
integral x^2+1(x-2)^3 dx = ln|x-2| - 4x-2 - 52(x-2)^2 + C

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