Calcule utilizando o método de Frações Parciais.
(s)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral usando o método de Frações Parciais. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especialmente quando lidamos com integrais racionais (ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios). Para resolver, vamos precisar decompor a fração em frações menores que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos que vamos decompor. Temos . Como o denominador é , que é um fator linear repetido, nossa decomposição de frações parciais será da seguinte forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de , e . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Vamos expandir :
Substituindo de volta na equação:
Agora, distribuímos e :
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, .
Substituindo na segunda equação: .
Substituindo e na terceira equação: .
Passo 4
Agora que temos os valores de x^2+1(x-2)^3 = 1x-2 + 4(x-2)^2 + 5(x-2)^3 , integral 1x-2 dx + integral 4(x-2)^2 dx + integral 5(x-2)^3 dx e ln|x-2| - 4x-2 - 52(x-2)^2 + C , podemos escrever a decomposição das frações parciais:
Vamos integrar cada termo separadamente:
Lembrando das integrais básicas:
(para )
Aplicando isso:
Resposta
A integral calculada é:
integral x^2+1(x-2)^3 dx = ln|x-2| - 4x-2 - 52(x-2)^2 + C