Utilizando as técnicas de integrais imediatas, integre: integral(3 x+1)^7 d x

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a integral de . Isso pertence ao conteúdo de integração, mais especificamente usando técnicas de integração por substituição, também conhecidas como integrais imediatas. Vamos precisar entender como fazer uma substituição para simplificar a integral e facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro do parêntese. Vamos chamar . Isso ajuda porque a derivada de em relação a é constante.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de dudx = 3 em relação a dx = du3 :
Isso significa que . Para isolar , dividimos ambos os lados por 3:

Passo 4

Vamos substituir integral(3x + 1)^7 , dx = integral u^7 cdot du3 = 13 integral u^7 , du e na integral original:
Agora, a integral ficou mais simples: .

Passo 5

Vamos integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C em relação a integral u^7 , du = u^88 + C . A regra básica de integração para potências é:
Aplicando isso aqui:

Passo 6

Agora, não esquecemos do fator 13 cdot u^88 + C = u^824 + C que estava na frente da integral:

Passo 7

Finalmente, vamos substituir (3x + 1)^824 + C de volta por :

Resposta

A integral de é .

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