Utilizando as técnicas de integrais imediatas, integre: integral 1raiz16-4 x^2 d x

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a integral . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente das integrais imediatas. Pra resolver isso, a gente vai precisar usar uma técnica de substituição trigonométrica que ajuda a simplificar a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o que está dentro da raiz. Observa que 16 - 4x^2 = 4(4 - x^2) pode ser fatorado. Vamos colocar o 4 em evidência:
integral 1raiz4(4 - x^2) dx = integral 12raiz4 - x^2 dx
Então, a integral fica:
Dividimos por 2 porque a raiz de 4 é 2.

Passo 3

Agora, a gente tem a integral:
12 integral 1raiz4 - x^2 dx
Aqui, reconhecemos uma forma padrão da integral que envolve a função arco seno. A fórmula que vamos usar é:
integral 1raiza^2 - u^2 du = arcsin(ua) + C
No nosso caso, , então , e .

Passo 4

Aplicando a fórmula, temos:
12 arcsin(x2) + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

12 arcsin(x2) + C

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