Calcule, utilizando mudança de variáveis, as seguintes integrais:
(a) integral raiz3 x-2 d x
(b) integral 3 x5+6 x^2 d x
© integral 11+9 x^2 d x
(d) integral sen^5(x) cos (x) d x
(e) integral x^2x+1 d x
(f) integral 2 x+3raiz1-4 x^2 d x
(g) integral e^x raiz1+e^x d x
(h) integral raiz9-(x-1)^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a técnica de mudança de variável, também conhecida como substituição. Esse método é muito útil para simplificar integrais complicado transformando a variável original em outra que facilite a integração. Para isso, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma nova variável.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Observamos que u = 3x - 2 está dentro da raiz quadrada, então vamos deixar essa parte ser nossa nova variável.
Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dudx = 3 implies du = 3 , dx implies dx = du3 , que é a derivada de em relação a . Isso nos ajudará a substituir na integral.
Derivando ambos os lados:

Passo 4

Substituímos integral raiz3x - 2 , dx = integral raizu cdot du3 = 13 integral u^1/2 , du e na integral original:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^1/2 , du = u^3/232 = 23 u^3/2 + C em relação a 13 cdot 23 u^3/2 = 29 u^3/2 + C :
Multiplicando pela constante que tínhamos anteriormente:

Passo 6

Finalmente, substituímos u = 3x - 2 implies u^3/2 = (3x - 2)^3/2 de volta em termos de 29 (3x - 2)^3/2 + C :
Então, a integral fica:

Resposta

integral raiz3x - 2 , dx = 29 (3x - 2)^3/2 + C

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