Resolva os problemas de valores de contorno abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. O exercício pede para resolver uma equação diferencial com condição inicial:
, onde
. A matéria envolvida é a de equações diferenciais ordinárias, especificamente tratando de equações não lineares do tipo de Bernoulli. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar essa equação em uma forma mais simples e aplicar técnicas de resolução de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
. A equação dada é:
Vamos dividir tudo por
(assumindo que
) para ficar:
Agora, temos uma equação na forma padrão de Bernoulli:
Onde aqui,
,
e
.
Passo 3
A equação de Bernoulli pode ser resolvida por uma substituição que transforma a equação não linear em uma linear. Para isso, fazemos a substituição:
Agora, vamos calcular a derivada de
em rela�o a
:
Queremos expressar
em termos de
. Da equação original reorganizada, temos:
Substituindo na expressão de
:
Rearranjando:
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial linear em
:
Onde
e
.
Para resolver essa equação, vamos encontrar um fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Lembrando que
:
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Para que isso seja válido, o denominador deve tender ao infinito, o que só acontece se
tende ao infinito. Isso implica que a única solução que satisfaz a condição inicial é a solução trivial:
Resposta
A solução do problema de valores de contorno é
.
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Calcule, utilizando Série de Taylor, uma aproximação do seno de
com uma precisão de pelo menos 3 casas decimais.
Encontre
para as funções a seguir.
e
Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica cuja altura
é sempre igual ao raio
da base. Se em dado instante tem-se
, use diferenciais para obter a variação do raio que origina um aumento de
no volume
da pilha.
Obs.: .
Obs.:
Resolva os problemas de valores de contorno abaixo:
.