Resolva os problemas de valores de contorno abaixo: .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. O exercício pede para resolver uma equação diferencial com condição inicial: , onde . A matéria envolvida é a de equações diferenciais ordinárias, especificamente tratando de equações não lineares do tipo de Bernoulli. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar essa equação em uma forma mais simples e aplicar técnicas de resolução de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar . A equação dada é:
Vamos dividir tudo por (assumindo que ) para ficar:
Agora, temos uma equação na forma padrão de Bernoulli:
Onde aqui, , e .

Passo 3

A equação de Bernoulli pode ser resolvida por uma substituição que transforma a equação não linear em uma linear. Para isso, fazemos a substituição:
Agora, vamos calcular a derivada de em rela�o a :
Queremos expressar em termos de . Da equação original reorganizada, temos:
Substituindo na expressão de :
Rearranjando:

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial linear em :
Onde e .
Para resolver essa equação, vamos encontrar um fator integrante :
Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Multiplicando ambos os lados por :
Lembrando que :

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial :
Para que isso seja válido, o denominador deve tender ao infinito, o que só acontece se tende ao infinito. Isso implica que a única solução que satisfaz a condição inicial é a solução trivial:

Resposta

A solução do problema de valores de contorno é .

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e
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Obs.: .
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