Utilizando as técnicas de integrais imediatas, integre: integral(3 raizx-2)(3 raizx+2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para a gente integrar a expressão (3 raizx - 2)(3 raizx + 2) em relação a x. Vamos usar técnicas de integrais imediatas, que envolvem simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Note que temos a forma (a - b)(a + b), que é igual a a^2 - b^2. Isso é chamado de produto notável da diferença e soma.
Aplicando isso aqui:
(3 raizx - 2)(3 raizx + 2) = (3 raizx)^2 - (2)^2

Passo 3

Agora, vamos calcular cada parte:
(3 raizx)^2 = 9x e (2)^2 = 4
Então,
(3 raizx - 2)(3 raizx + 2) = 9x - 4

Passo 4

Com a expressão simplificada, nossa integral fica:
integral (9x - 4) , dx
Agora, vamos integrar termo a termo.

Passo 5

Integrando 9x em relação a x:
integral 9x , dx = 92x^2
E integrando -4 em relação a x:
integral -4 , dx = -4x

Passo 6

Juntando as duas integrais, temos:
integral (9x - 4) , dx = 92x^2 - 4x + C
Onde C é a constante de integração, que sempre colocamos no final das integrais indefinidas.

Resposta

A integral de (3 raizx - 2)(3 raizx + 2) em relação a x é:
92x^2 - 4x + C

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