Calcule utilizando substituições trigonométricas.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral
usando substituições trigonométricas. Isso faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente do cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica que simplifica a expressão dentro da raiz quadrada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a expressão dentro da raiz quadrada é da forma
, onde
. Quando temos uma integral que envolve
, uma boa substituição trigonométrica é
. Então, aqui, fazemos:
Passo 3
Com essa substituição, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para substituir
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 5
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Passo 6
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
Para integrar
, usamos a fórmula de redução:
Portanto,
Passo 8
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Passo 9
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que fizemos
, então:
Também, usando a identidade de seno duplo:
Passo 10
Substituindo tudo de volta na integral:
Resposta
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Utilizando as técnicas de integrais imediatas, integre:
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Encontrando termos de uma sequência
Cada um dos Exercícios 1-6 dá uma fórmula para o -ésimo termo
de uma sequência
. Encontre os valores de
e
.
Cada um dos Exercícios 1-6 dá uma fórmula para o
Prove que se
e
são inteiros pares,
é divisível por 4 .