Calcule utilizando substituições trigonométricas.
(d) integral raiz25-t^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral usando substituições trigonométricas. Isso faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente do cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica que simplifica a expressão dentro da raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a expressão dentro da raiz quadrada é da forma t = 5 sin theta , onde . Quando temos uma integral que envolve , uma boa substituição trigonométrica é . Então, aqui, fazemos:

Passo 3

Com essa substituição, precisamos calcular a derivada de dt = 5 cos theta , dtheta em relação a para substituir :

Passo 4

Agora, substituímos integral raiz25 - t^2 , dt = integral raiz25 - (5 sin theta)^2 cdot 5 cos theta , dtheta e na integral original:

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
raiz25 - 25 sin^2 theta = raiz25(1 - sin^2 theta) = raiz25 cos^2 theta = 5 cos theta

Passo 6

Substituindo de volta na integral:
integral 5 cos theta cdot 5 cos theta , dtheta = 25 integral cos^2 theta , dtheta

Passo 7

Para integrar cos^2 theta = 1 + cos 2theta2 , usamos a fórmula de redução:
25 integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = 252 integral (1 + cos 2theta) , dtheta
Portanto,

Passo 8

Integrando termo a termo:
252 ( integral 1 , dtheta + integral cos 2theta , dtheta ) = 252 ( theta + sin 2theta2 ) + C
Simplificando:
252 theta + 254 sin 2theta + C

Passo 9

Agora, precisamos voltar para a variável original sin theta = t5 Rightarrow theta = arcsin(t5) . Lembrando que fizemos sin 2theta = 2 sin theta cos theta = 2 cdot t5 cdot raiz25 - t^25 = 2t raiz25 - t^225 , então:
Também, usando a identidade de seno duplo:

Passo 10

Substituindo tudo de volta na integral:
252 arcsin(t5) + 254 cdot 2t raiz25 - t^225 + C = 252 arcsin(t5) + t raiz25 - t^22 + C

Resposta

integral raiz25 - t^2 , dt = 252 arcsin(t5) + t raiz25 - t^22 + C

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