Utilizando as técnicas de integrais imediatas, integre: integral a^x-a^-xa^x d x

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo integrais imediatas. Precisamos integrar a função a^x-a^-xa^x. Para isso, vamos simplificar a expressão e aplicar as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da integral. Temos:
a^x - a^-xa^x
Isso pode ser dividido termo a termo.

Passo 3

Dividindo cada termo do numerador pelo denominador, obtemos:
a^xa^x - a^-xa^x = 1 - a^-2x
Agora, a integral ficou mais simples:
integral (1 - a^-2x) dx

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de 1 em relação a integral a^kx dx = a^kxk ln a + C é .
Para o termo , usamos a regra de integração de exponenciais:
onde é uma constante.

Passo 5

Aplicando essa regra ao nosso termo:
integral a^-2x dx = a^-2x-2 ln a = -a^-2x2 ln a
Como temos um sinal negativo na integral original:
integral -a^-2x dx = a^-2x2 ln a

Resposta

A integral é dada por:
x + a^-2x2 ln a + C
onde é a constante de integração.

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