Calcule
e
quando:
b)
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais
e
da função:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função
para aplicar a regra do produto. Podemos ver que:
onde:
Então, para encontrar
e
, vamos derivar cada parte separadamente.
Passo 3
Vamos calcular
primeiro. Pela regra do produto:
Precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Calculando
:
A derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 5
Agora, calculando
:
Usamos a regra da cadeia. A derivada de
é
. Então:
Simplificando dentro da raiz:
Então:
Simplificando mais:
Passo 6
Agora, juntando tudo para
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos calcular
. De forma similar a
:
Vamos encontrar
e
.
Passo 8
Calculando
:
Assim como
:
Passo 9
Calculando
:
Usando novamente a regra da cadeia:
Simplificando como fizemos para
:
Passo 10
Agora, juntando tudo para
:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais são:
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.
(a) Estime .
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