Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência, como o Teste da Razão. Precisamos entender como a série se comporta para diferentes valores de .
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.
O Teste da Razão diz que se:
se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Aqui, . Vamos calcular :
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Para que a série convirja, precisamos que :
Isso significa que o raio de convergência é 1.
Passo 4
Agora que sabemos que , o próximo passo é determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para , ou seja, para . Mas precisamos verificar o que acontece nos pontos e .
Passo 5
Vamos começar com :
Essa é uma série alternada. Para verificar a convergência, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se é decrescente e tende a zero, a série converge.
Aqui, , que é decrescente e tende a zero. Portanto, a série converge para .
Passo 6
Agora, vamos verificar :
Isso simplifica para a série harmônica:
A série harmônica é conhecida por divergir. Então, a série não converge para .
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .