Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
sum n^n x^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Isso está dentro do conteúdo de séries de potências e para resolver, vamos usar o Teste da Raiz, que ajuda a determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é limn to infty raiz[n]|an| < 1 . O Teste da Raiz diz que a série converge se:
Vamos aplicar isso ao nosso termo geral.

Passo 3

Aplicando o Teste da Raiz:
raiz[n]|an| = raiz[n]n^n |x|^n = raiz[n]n^n cdot raiz[n]|x|^n = n cdot |x|
Então, temos:
limn to infty n cdot |x|

Passo 4

Agora, vamos calcular esse limite. À medida que limn to infty n cdot |x| = infty se |x| > 0 cresce para o infinito:
Isso significa que, para qualquer diferente de zero, o limite é infinito, que é maior que 1. Portanto, a série não converge para .

Passo 5

O único caso restante é quando sum n^n cdot 0^n = sum n^n cdot 0 = 0 . Substituindo na série:
Aqui, todos os termos são zero, então a série converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é apenas .

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