Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
. Isso está dentro do conteúdo de séries de potências e para resolver, vamos usar o Teste da Raiz, que ajuda a determinar até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é
. O Teste da Raiz diz que a série
converge se:
Vamos aplicar isso ao nosso termo geral.
Passo 3
Aplicando o Teste da Raiz:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular esse limite. À medida que
cresce para o infinito:
Isso significa que, para qualquer
diferente de zero, o limite é infinito, que é maior que 1. Portanto, a série não converge para
.
Passo 5
O único caso restante é quando
. Substituindo na série:
Aqui, todos os termos são zero, então a série converge.
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é apenas
.
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Calcule
e
quando:
b) .
b)
Encontre a transformada Laplace de:
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