Calcule v(t0)=lim t t0 s(t)-s(t0)t-t0 : s(t)=t^-2 e t0=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite onde a função é e . Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de derivadas, que nos ajuda a entender como uma função muda em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir s(t0) = s(1) = 1^-2 = 1 na função . Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos montar a expressão do limite com os valores que já temos:
v(1) = limt to 1 s(t) - s(1)t - 1 = limt to 1 t^-2 - 1t - 1

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos simplificar a expressão. Uma maneira de fazer isso é reescrever v(1) = limt to 1 1t^2 - 1t - 1 como :

Passo 5

Agora, vamos combinar os termos no numerador:
1t^2 - 1 = 1 - t^2t^2
Então, a expressão fica:
v(1) = limt to 1 1 - t^2t^2t - 1 = limt to 1 1 - t^2t^2 (t - 1)

Passo 6

Perceba que v(1) = limt to 1 (1 - t)(1 + t)t^2 (t - 1) pode ser fatorado como . Então:

Passo 7

Agora, observe que v(1) = limt to 1 -(t - 1)(1 + t)t^2 (t - 1) , então podemos substituir:

Passo 8

Com isso, o termo v(1) = limt to 1 -(1 + t)t^2 no numerador e denominador pode ser cancelado:

Passo 9

Agora, basta substituir v(1) = -(1 + 1)1^2 = -21 = -2 na expressão simplificada:

Resposta

O valor de quando é -2.

Exercícios relacionados