Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função
em relação a
. Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica de derivação para funções compostas.
Passo 2
Vamos identificar a função externa e a função interna. Aqui, a função externa é a raiz quadrada,
, onde
. A função interna é
.
Passo 3
Aplicando a Regra da Cadeia, a derivada de
é a derivada da função externa em relação à função interna multiplicada pela derivada da função interna em relação a
. Matematicamente, isso fica:
Passo 4
Calculando a derivada da função externa
em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos derivar a função interna
em relação a
:
Passo 6
Derivando
em relação a
:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da derivada da função interna:
Passo 8
Agora, juntando tudo na Regra da Cadeia:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Demonstre que se
para todo
no intervalo
então existem
e
reais tais que
. Sugestão: aplique o Teorema de Taylor no intervalo
.
$\left(\begin{array}{l}in? \ \text { in
$\left(\begin{array}{l}in? \ \text { in
Para as funções abaixo calcule as derivadas, indique onde elas existem e justifique seus resultados.
Calcule
:
e
Se
descreve a posição de uma partícula no instante
, encontre a sua velocidade
em função de
. Qual a velocidade escalar da partícula no instante
?