Se descreve a posição de uma partícula no instante , encontre a sua velocidade em função de . Qual a velocidade escalar da partícula no instante ?

Passo 1

Beleza! A gente tem a posição de uma partícula dada por no instante . Nosso objetivo aqui é encontrar a velocidade dessa partícula em função de e, em seguida, descobrir qual é essa velocidade quando . Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que faz parte do cálculo diferencial. Basicamente, a derivada nos ajuda a encontrar a taxa de variação de uma função, nesse caso, a posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a velocidade de uma partícula é a derivada da sua posição em relação ao tempo. Isso significa que é a derivada de em relação a . Escrevendo isso matematicamente:

Passo 3

Agora, vamos derivar a função . Lembra que a regra básica para derivar uma potência de é trazer o expoente para frente e diminuir o expoente em 1. Aplicando isso:
Então, a expressão para a velocidade é:

Passo 4

Com a expressão da velocidade em mãos, podemos calcular a velocidade no instante . Basta substituir por 2 na fórmula que encontramos:

Resposta

A velocidade da partícula em função do tempo é e, no instante , a velocidade escalar é unidades de posição por unidade de tempo.

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Calcule : e
Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
Dado o gráfico abaixo, estime o valor da derivada em cada um dos pontos indicados, usando uma régua para traçar a reta tangente e medir o coeficiente angular:
Utilizando regras de derivação, calcule a derivada: