Demonstre que se para todo no intervalo então existem e reais tais que . Sugestão: aplique o Teorema de Taylor no intervalo .
$\left(\begin{array}{l}in? \ \text { in

Passo 1

Vamos resumir o que a gente precisa fazer: queremos mostrar que se a segunda derivada de uma função, , é zero em todo um intervalo , então a função deve ser uma reta, ou seja, tem que ter a forma , onde e são números reais. Para isso, vamos usar o Teorema de Taylor.

Passo 2

O Teorema de Taylor nos ajuda a aproximar funções por polinômios. No nosso caso, como , isso significa que a função não tem curvatura, ou seja, ela não tem termos quadráticos ou de grau superior quando desenvolvida em Taylor. Então, a função deve ser um polinômio de primeiro grau.

Passo 3

Se a segunda derivada é zero, então a primeira derivada é uma constante. Vamos chamar essa constante de :

Passo 4

Agora, para encontrar a função , vamos integrar a primeira derivada:
Aqui, é a constante de integração.

Resposta

Portanto, se para todo no intervalo , existe uma reta que representa a função.

Exercícios relacionados

Para as funções abaixo calcule as derivadas, indique onde elas existem e justifique seus resultados.
Mostre que a função abaixo é derivável.
Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
Calcule : e