Demonstre que se
para todo
no intervalo
então existem
e
reais tais que
. Sugestão: aplique o Teorema de Taylor no intervalo
.
$\left(\begin{array}{l}in? \ \text { in
$\left(\begin{array}{l}in? \ \text { in
Passo 1
Vamos resumir o que a gente precisa fazer: queremos mostrar que se a segunda derivada de uma função,
, é zero em todo um intervalo
, então a função
deve ser uma reta, ou seja, tem que ter a forma
, onde
e
são números reais. Para isso, vamos usar o Teorema de Taylor.
Passo 2
O Teorema de Taylor nos ajuda a aproximar funções por polinômios. No nosso caso, como
, isso significa que a função não tem curvatura, ou seja, ela não tem termos quadráticos ou de grau superior quando desenvolvida em Taylor. Então, a função deve ser um polinômio de primeiro grau.
Passo 3
Se a segunda derivada
é zero, então a primeira derivada
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
:
Passo 4
Agora, para encontrar a função
, vamos integrar a primeira derivada:
Aqui,
é a constante de integração.
Resposta
Portanto, se
para todo
no intervalo
, existe uma reta
que representa a função.
Exercícios relacionados
Para as funções abaixo calcule as derivadas, indique onde elas existem e justifique seus resultados.
Mostre que a função abaixo é derivável.
Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
Calcule
:
e