Passo 1
Então, temos uma equação diferencial parcial onde a soma das segundas derivadas de
em relação a
e
é igual a 1, ou seja:
Além disso, as condições de contorno dizem que
é igual a zero nas bordas do quadrado
. O conteúdo que vamos precisar para resolver isso envolve métodos de separação de variáveis e séries de Fourier para encontrar a solução dessa equação diferencial com as condições dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem o lado direito:
Isso é conhecido como a equação de Laplace. Para resolver isso, usamos separação de variáveis assumindo que
pode ser escrita como um produto de funções de
e
:
Passo 3
Substituindo
na equação de Laplace, temos:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso nos leva a duas equações ordinárias, cada uma igual a uma constante negativa
:
Passo 4
Resolvendo para
:
E para
:
As soluções dessas equações dependem do valor de
. Considerando as condições de contorno
, obtemos que
deve ser uma combinação de senos, pois senos satisfazem as condições de contorno homogêneas.
Passo 5
Assumindo uma solução para
:
Correspondente a
. Então, a solução geral homogênea é uma soma de tais termos:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
que satisfaça a equação original com o lado direito igual a 1. Considerando uma solução constante
, substituímos na equação:
Resposta
A solução completa para
que satisfaz a equação diferencial e as condições de contorno é: