rr partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=1, 0

Passo 1

Então, temos uma equação diferencial parcial onde a soma das segundas derivadas de partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 1, 0 < x < 1, , 0 < y < 1 em relação a e é igual a 1, ou seja:
Além disso, as condições de contorno dizem que é igual a zero nas bordas do quadrado . O conteúdo que vamos precisar para resolver isso envolve métodos de separação de variáveis e séries de Fourier para encontrar a solução dessa equação diferencial com as condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem o lado direito:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0
Isso é conhecido como a equação de Laplace. Para resolver isso, usamos separação de variáveis assumindo que u(x, y) = X(x)Y(y) pode ser escrita como um produto de funções de e :

Passo 3

Substituindo X''(x)Y(y) + X(x)Y''(y) = 0 na equação de Laplace, temos:
X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y) = 0
Dividindo ambos os lados por X''(x)X(x) = -lambda e Y''(y)Y(y) = lambda :
Isso nos leva a duas equações ordinárias, cada uma igual a uma constante negativa :

Passo 4

Resolvendo para X''(x) + lambda X(x) = 0 :
Y''(y) - lambda Y(y) = 0
E para :
As soluções dessas equações dependem do valor de . Considerando as condições de contorno , obtemos que deve ser uma combinação de senos, pois senos satisfazem as condições de contorno homogêneas.

Passo 5

Assumindo uma solução para Xn(x) = sin(npi x), n = 1, 2, 3, dots :
uh(x, y) = sumn=1^infty Bn sin(npi x) sinh(npi y)
Correspondente a . Então, a solução geral homogênea é uma soma de tais termos:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular 0 + 0 = 1 Rightarrow C = -1pi^2 que satisfaça a equação original com o lado direito igual a 1. Considerando uma solução constante , substituímos na equação:

Resposta

A solução completa para u(x, y) = -1pi^2 + sumn=1^infty 4(n)^3 pi^3 sin(npi x) sinh(npi y) que satisfaz a equação diferencial e as condições de contorno é:

Exercícios relacionados

f(x) = { h x / a, 0 <= x <= a ; h / (a - L) (x - L), a <= x <= L }
(i) Obtenha a série de Fourier de f(x).
Calcule o valor aproximado e avalie o erro. sen(0,002)
& partial^2 u(x, t)partial t^2=c^2 partial^2 u(x, t)partial x^2, 00 & u(0, t)=u(L, t)=0, t>0 & u(x, 0)=f(x) e partial u(x, t)partial t|t=0=g(x), 0 <= x <= L
Considere os seguintes casos:
(i)
& g(x)=0, c=1 & f(x)=l 4 x, 0 <= x <= 14 -4(x-12), 14 <= x <= 34 4(x-1), 34 <= x <= 1
Use um recurso gráfico para gerar o gráfico de r(t) e o gráfico da reta tangente em t0 na mesma tela. r(t) = 3 sen(t) i + 4 cos(t) j ; t0 = pi/4