rr partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=1, 0

Passo 1

Então, temos uma equação diferencial parcial onde a soma das segundas derivadas de partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 1, 0 < x < 1, , 0 < y < 1 em relação a e é igual a 1, ou seja:
Além disso, as condições de contorno dizem que é igual a zero nas bordas do quadrado . O conteúdo que vamos precisar para resolver isso envolve métodos de separação de variáveis e séries de Fourier para encontrar a solução dessa equação diferencial com as condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem o lado direito:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0
Isso é conhecido como a equação de Laplace. Para resolver isso, usamos separação de variáveis assumindo que u(x, y) = X(x)Y(y) pode ser escrita como um produto de funções de e :

Passo 3

Substituindo X''(x)Y(y) + X(x)Y''(y) = 0 na equação de Laplace, temos:
X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y) = 0
Dividindo ambos os lados por X''(x)X(x) = -lambda e Y''(y)Y(y) = lambda :
Isso nos leva a duas equações ordinárias, cada uma igual a uma constante negativa :

Passo 4

Resolvendo para X''(x) + lambda X(x) = 0 :
Y''(y) - lambda Y(y) = 0
E para :
As soluções dessas equações dependem do valor de . Considerando as condições de contorno , obtemos que deve ser uma combinação de senos, pois senos satisfazem as condições de contorno homogêneas.

Passo 5

Assumindo uma solução para Xn(x) = sin(npi x), n = 1, 2, 3, dots :
uh(x, y) = sumn=1^infty Bn sin(npi x) sinh(npi y)
Correspondente a . Então, a solução geral homogênea é uma soma de tais termos:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular 0 + 0 = 1 Rightarrow C = -1pi^2 que satisfaça a equação original com o lado direito igual a 1. Considerando uma solução constante , substituímos na equação:

Resposta

A solução completa para u(x, y) = -1pi^2 + sumn=1^infty 4(n)^3 pi^3 sin(npi x) sinh(npi y) que satisfaz a equação diferencial e as condições de contorno é:

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