Mostre que o campo
dado pela equação:
é conservativo e calcule um potencial
de modo que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o campo vetorial
é conservativo e, se for o caso, encontrar uma função potencial
tal que
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo vetorial, mais especificamente relacionado a campos conservativos e funções potenciais. Para resolver, vamos precisar verificar se o campo é conservativo e, se for, integrar para achar a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar
tal que
, onde
é o gradiente de
. Além disso, em um espaço simplesmente conexo, se o rotacional de
for zero, então o campo é conservativo.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
, que é dado por:
Onde
.
Passo 4
Vamos identificar as componentes de
:
Agora, vamos calcular cada termo do rotacional.
Passo 5
Calculando
e
:
Portanto, a primeira componente do rotacional é
.
Passo 6
Calculando
e
:
Assim, a segunda componente do rotacional é
.
Passo 7
Calculando
e
:
Portanto, a terceira componente do rotacional é
.
Passo 8
Juntando tudo, temos:
Como o rotacional de
é zero, e assumindo que o domínio
é simplesmente conexo, o campo
é conservativo.
Passo 9
Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar
.
Passo 10
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função arbitrária de
e
.
Passo 11
Agora, usamos
:
Isso implica que
, então
, onde
é uma função de
apenas.
Passo 12
Finalmente, usamos
:
Isso nos dá
, então
, onde
é uma constante.
Passo 13
Assim, a função potencial é:
Agora, usamos a condição
para encontrar
:
Resposta
A função potencial é:
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utilizando a regra de Simpson com 6 subdivisões do intervalo de integração e dê uma estimativa para o erro cometido.
Calcule o valor aproximado de
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.
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1.1 | 1.9 | 2.7 | 3.2 | 3.4 | 3.7 | 4.2 | 5 |
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0.3994 | 0.8658 | 0.5188 | 0.7385 | 0.5536 | 0.5641 | 0.5878 | 0.5279 |
Encontre parametrizações regulares para as superfícies
Seja
a curva no plano
dada pelo semicírculo de raio
e centro
abaixo da reta
e seja
a superfície dada pela rotação da curva
em torno do eixo
.
Faça um esboço de e mostre que ela não é regular. Descreva seu(s) ponto(s) não regulares.
Faça um esboço de