Mostre que o campo dado pela equação:
é conservativo e calcule um potencial de modo que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o campo vetorial é conservativo e, se for o caso, encontrar uma função potencial tal que . Isso está dentro do conteúdo de cálculo vetorial, mais especificamente relacionado a campos conservativos e funções potenciais. Para resolver, vamos precisar verificar se o campo é conservativo e, se for, integrar para achar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar tal que , onde é o gradiente de . Além disso, em um espaço simplesmente conexo, se o rotacional de for zero, então o campo é conservativo.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de , que é dado por:
Onde .

Passo 4

Vamos identificar as componentes de :
Agora, vamos calcular cada termo do rotacional.

Passo 5

Calculando e :
ãã
Portanto, a primeira componente do rotacional é .

Passo 6

Calculando e :
Assim, a segunda componente do rotacional é .

Passo 7

Calculando e :
Portanto, a terceira componente do rotacional é .

Passo 8

Juntando tudo, temos:
Como o rotacional de é zero, e assumindo que o domínio é simplesmente conexo, o campo é conservativo.

Passo 9

Agora, vamos encontrar a função potencial tal que . Isso significa que:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar .

Passo 10

Integrando em relação a :
Onde é uma função arbitrária de e .

Passo 11

Agora, usamos :
Isso implica que , então , onde é uma função de apenas.

Passo 12

Finalmente, usamos :
Isso nos dá , então , onde é uma constante.

Passo 13

Assim, a função potencial é:
Agora, usamos a condição para encontrar :

Resposta

A função potencial é:

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: A superfície limitada inferiormente pelo plano e superiormente por , orientada positivamente.
Encontre parametrizações regulares para as superfícies especificando os seus domínios e mostre que são regulares.
Seja a curva no plano dada pelo semicírculo de raio e centro abaixo da reta e seja a superfície dada pela rotação da curva em torno do eixo .
Faça um esboço de e mostre que ela não é regular. Descreva seu(s) ponto(s) não regulares.