Mostre que o campo F: D ⊆ R^3 → R^3 dado pela equação:
F(x, y, z) = (y^2 + 3 x^2 e^(x^3 + z^3), 2 x y, 3 z^2 e^(x^3 + z^3))
é conservativo e calcule um potencial f de modo que f(0,0,0) = 21.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o campo vetorial F(x, y, z) é conservativo e, se for o caso, encontrar uma função potencial f tal que . Isso está dentro do conteúdo de cálculo vetorial, mais especificamente relacionado a campos conservativos e funções potenciais. Para resolver, vamos precisar verificar se o campo é conservativo e, se for, integrar para achar a função f.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar f tal que , onde nabla f é o gradiente de f. Além disso, em um espaço simplesmente conexo, se o rotacional de F for zero, então o campo é conservativo.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F, que é dado por:
Onde .

Passo 4

Vamos identificar as componentes de F:
Agora, vamos calcular cada termo do rotacional.

Passo 5

Calculando e :
ãã
Portanto, a primeira componente do rotacional é .

Passo 6

Calculando e :
Assim, a segunda componente do rotacional é .

Passo 7

Calculando e :
Portanto, a terceira componente do rotacional é .

Passo 8

Juntando tudo, temos:
Como o rotacional de F é zero, e assumindo que o domínio D é simplesmente conexo, o campo F é conservativo.

Passo 9

Agora, vamos encontrar a função potencial f tal que . Isso significa que:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar f.

Passo 10

Integrando em relação a x:
Onde é uma função arbitrária de y e z.

Passo 11

Agora, usamos :
Isso implica que , então , onde é uma função de z apenas.

Passo 12

Finalmente, usamos :
Isso nos dá , então , onde C é uma constante.

Passo 13

Assim, a função potencial é:
Agora, usamos a condição para encontrar C:

Resposta

A função potencial é:

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