: O plano restrito ao cone , orientado de forma que seus vetores normais apontem para baixo. : A superfície da esfera de raio 2 centrada na origem com vetores normais apontando para fora. : A superfície limitada inferiormente pelo plano e superiormente por , orientada positivamente.
Encontre parametrizações regulares para as superfícies especificando os seus domínios e mostre que são regulares.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! O exercício pede para encontrarmos parametrizações regulares para três superfícies diferentes: , e . Isso envolve entender um pouco de geometria analítica, como trabalhar com planos, cones e esferas, além de saber como parametrizar essas superfícies de forma que sejam “regulares”, ou seja, sem pontos estranhos e com uma boa definição. Vamos precisar usar coordenadas cartesianas e talvez mudar para coordenadas cilíndricas ou esféricas para facilitar a parametrização.
Passo 2
Vamos começar com a superfície , que é um plano dado por , restrito ao cone . Primeiro, precisamos entender onde esse plano e esse cone se intersectam. Para isso, podemos substituir a expressão de do plano na equação do cone.
Substituindo na equação do cone:
Expandindo o lado esquerdo:
Simplificando:
Trazendo todos os termos para um lado:
Simplificando ainda mais:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar frações:
Essa equação descreve a interseção do plano com o cone. Para parametrizar , podemos expressar e em termos de um parâmetro, garantindo que a relação acima seja satisfeita. Vamos escolher como um parâmetro livre.
Passo 3
Vamos parametrizar . Sabemos que . Precisamos expressar e de forma que satisfaçam a equação .
Podemos resolver para em termos de :
Essa é uma equação quadrática em . Para simplificar, vamos completar o quadrado:
Dividindo tudo por 15:
Completando o quadrado para :
Para que o lado direito seja não negativo:
Agora, podemos parametrizar com um parâmetro que varia de a , e então expressar em termos de .
Passo 4
Com base no que fizemos, podemos escolher como nosso parâmetro livre, onde . Então, expressamos em termos de :
Para simplificar, podemos escolher uma das soluções (por exemplo, a positiva) para garantir uma parametrização única:
Assim, temos nossa parametrização:
Passo 5
Agora, vamos verificar se essa parametrização é regular. Uma parametrização é regular se o vetor derivada em relação aos parâmetros não for nulo em nenhum ponto do domínio. No nosso caso, como temos apenas um parâmetro e a expressão para é diferenciável dentro do domínio definido, a parametrização é regular.
Passo 6
Passando para a superfície , que é a superfície da esfera de raio 2 centrada na origem, com vetores normais apontando para fora. Para parametrizar uma esfera, é comum usar coordenadas esféricas.
A equação da esfera é:
Em coordenadas esféricas, podemos parametrizar a esfera usando os ângulos (azimute) e (inclinação):
Onde e .
Passo 7
Vamos confirmar que essa parametrização é regular. Calculando as derivadas parciais em relação a e :
O determinante do jacobiano é diferente de zero para todos os no domínio, o que garante que a parametrização é regular.
Passo 8
Finalmente, vamos tratar da superfície , que é limitada inferiormente pelo plano e superiormente pela esfera , orientada positivamente. Para parametrizar , podemos considerar a combinação das parametrizações de e , garantindo que abrange a região entre essas duas superfícies.
Podemos usar coordenadas esféricas novamente, mas restringindo para que a superfície fique entre o plano e a esfera. Encontramos o limite de a partir da interseção entre o plano e a esfera.
Substituindo na equação da esfera:
Resolvendo essa equação para e , determinamos os limites de para a parametrização de .
Resposta
Parametrizações regulares encontradas para as superfícies:
çãé
Todas as parametrizações são regulares, pois suas derivadas parciais não anulam em nenhum ponto do domínio definido.