Calcule o valor aproximado da temperatura de ebulição da água no Pico da Bandeira, cuja altitude é de 2890 m , usando o Interpolação quadrática. Na tabela, X representa a altitude em m, Y a temperatura de ebulição da água em^circ C.
X 2600 2800 2900 3000
Y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a temperatura de ebulição da água no Pico da Bandeira, que está a 2890 metros de altitude. Para isso, vamos usar Interpolação Quadrática, que é uma técnica matemática para estimar valores entre pontos conhecidos. Precisamos das temperaturas de ebulição em altitudes próximas para fazer isso. Vamos usar três pontos da tabela para facilitar a interpolação.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar os pontos que temos na tabela. Supondo que as temperaturas de ebulição correspondentes às altitudes sejam as seguintes:
X (m) 2600 2800 2900 3000
Y (°C) 94.5 94.0 93.5 93.0
Esses valores mostram que, conforme a altitude aumenta, a temperatura de ebulição diminui, o que faz sentido porque a pressão atmosférica é menor em altitudes mais altas.

Passo 3

Para fazer a Interpolação Quadrática, precisamos selecionar três pontos da tabela. Vamos escolher os pontos mais próximos da altitude que queremos calcular, que são 2800 m, 2900 m e 3000 m.
Então, nossos pontos são:
  • m, °C
  • m, °C
  • m, °C

Passo 4

Vamos usar a fórmula da Interpolação Quadrática usando a forma de Lagrange. A fórmula para encontrar Y = Y0 cdot (X - X1)(X - X2)(X0 - X1)(X0 - X2) + Y1 cdot (X - X0)(X - X2)(X1 - X0)(X1 - X2) + Y2 cdot (X - X0)(X - X1)(X2 - X0)(X2 - X1) em um valor é:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na fórmula. Queremos calcular Y &= 94.0 cdot (2890 - 2900)(2890 - 3000)(2800 - 2900)(2800 - 3000) & + 93.5 cdot (2890 - 2800)(2890 - 3000)(2900 - 2800)(2900 - 3000) & + 93.0 cdot (2890 - 2800)(2890 - 2900)(3000 - 2800)(3000 - 2900) quando m.

Passo 6

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. Primeiro termo:
94.0 cdot (-10)(-110)(-100)(-200) = 94.0 cdot 110020000 = 94.0 cdot 0.055 = 5.17
  1. Segundo termo:
93.5 cdot (90)(-110)(100)(-100) = 93.5 cdot -9900-10000 = 93.5 cdot 0.99 = 92.565
  1. Terceiro termo:
93.0 cdot (90)(-10)(200)(-100) = 93.0 cdot -900-20000 = 93.0 cdot 0.045 = 4.185

Passo 7

Agora, somamos todos os termos para encontrar Y = 5.17 + 92.565 + 4.185 = 101.92 °C :

Resposta

A temperatura de ebulição da água no Pico da Bandeira, a 2890 metros de altitude, é aproximadamente 101.92°C.

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