A tabela a seguir apresenta resultados empíricos que relacionam o tempo t e a intensidade de corrente elétrica ị.
t 0.1 0.2 0.4 0.8
i 2.48 2.66 2.58 2.00
Estime o valor de i para t =0.3 utilizando o método de Newton para Interpolação com Diferenças Divididas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma tabela que mostra como a intensidade da corrente elétrica varia com o tempo . A gente precisa achar o valor de quando usando o método de Newton para Interpolação com Diferenças Divididas. Para isso, vamos precisar entender como construir a tabela de diferenças divididas e usar a fórmula de interpolação de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar nossos dados em uma tabela para facilitar. Temos os valores de e :
0.1 0.2 0.4 0.8
2.48 2.66 2.58 2.00

Passo 3

Agora, vamos construir a tabela de diferenças divididas. A ideia é calcular as diferenças entre os valores de c|c t & i hline 0.1 & 2.48 0.2 & 2.66 0.4 & 2.58 0.8 & 2.00 para encontrar os coeficientes do polinômio de Newton.
Primeiro, listamos os valores de f[t0, t1] = 2.66 - 2.480.2 - 0.1 = 0.180.1 = 1.8 e f[t1, t2] = 2.58 - 2.660.4 - 0.2 = -0.080.2 = -0.4 :
f[t2, t3] = 2.00 - 2.580.8 - 0.4 = -0.580.4 = -1.45
Calculamos as primeiras diferenças divididas ( f[t0, t1, t2] = f[t1, t2] - f[t0, t1]0.4 - 0.1 = -0.4 - 1.80.3 = -2.20.3 approx -7.3333 ):
f[t1, t2, t3] = f[t2, t3] - f[t1, t2]0.8 - 0.2 = -1.45 - (-0.4)0.6 = -1.050.6 = -1.75
f[t0, t1, t2, t3] = f[t1, t2, t3] - f[t0, t1, t2]0.8 - 0.1 = -1.75 - (-7.3333)0.7 approx 5.58330.7 approx 7.9762
Agora, calculamos as segundas diferenças divididas ( ):
E por fim, a terceira diferença dividida ( ):

Passo 4

Com as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio de interpolação de Newton. A fórmula geral é:
P(t) = f[t0] + f[t0, t1](t - t0) + f[t0, t1, t2](t - t0)(t - t1) + f[t0, t1, t2, t3](t - t0)(t - t1)(t - t2)
Substituindo os valores que encontramos:
P(t) = 2.48 + 1.8(t - 0.1) - 7.3333(t - 0.1)(t - 0.2) + 7.9762(t - 0.1)(t - 0.2)(t - 0.4)

Passo 5

Agora, vamos substituir P(0.3) = 2.48 + 1.8(0.3 - 0.1) - 7.3333(0.3 - 0.1)(0.3 - 0.2) + 7.9762(0.3 - 0.1)(0.3 - 0.2)(0.3 - 0.4) na equação do polinômio para encontrar 1.8(0.2) = 0.36 :
-7.3333(0.2)(0.1) = -7.3333 times 0.02 = -0.146666
Calculando passo a passo:
7.9762(0.2)(0.1)(-0.1) = 7.9762 times 0.002 times (-0.1) = -0.00159524
P(0.3) = 2.48 + 0.36 - 0.146666 - 0.00159524 approx 2.480 + 0.36 - 0.146666 - 0.00159524 approx 2.691738
Somando tudo:

Resposta

O valor estimado de para é aproximadamente 2.69.

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