Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações, com precisão varepsilon=10^-4
a) x / 2-tg(x)=0
b) 2 cos (x)=e^x / 2
c) x^5-6=0
d) x^3-2 x^2-3 x+10=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar a menor raiz positiva da equação usando o método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar raízes de funções. Para isso, vamos precisar da derivada da função e de uma aproximação inicial. Nossa precisão será .

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que queremos encontrar a raiz:
f(x) = x2 - tan(x)
E sua derivada:
f'(x) = 12 - sec^2(x)
A ideia do método de Newton-Raphson é melhorar nossa estimativa da raiz usando a fórmula:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Vamos escolher uma aproximação inicial próxima da raiz. Observando o gráfico de , parece que a menor raiz positiva está entre 1 e 2. Vamos começar com .

Passo 3

Vamos calcular f(1.5) = 1.52 - tan(1.5) approx 0.75 - 14.1014 approx -13.3514 e f'(1.5) = 12 - sec^2(1.5) approx 0.5 - 4.5136 approx -4.0136 :
x1 = 1.5 - ( -13.3514-4.0136 ) approx 1.5 - 3.325 approx -1.825
Agora, aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
Hmm, o valor deu negativo, o que não faz sentido para nossa raiz positiva. Vamos tentar um valor inicial diferente, por exemplo, .

Passo 4

Calculando f(1) = 12 - tan(1) approx 0.5 - 1.5574 approx -1.0574 e f'(1) = 12 - sec^2(1) approx 0.5 - 2.4255 approx -1.9255 :
x1 = 1 - ( -1.0574-1.9255 ) approx 1 - 0.5489 approx 0.4511
Aplicando a fórmula:
Agora, vamos recalcular com .

Passo 5

Calculando f(0.4511) = 0.45112 - tan(0.4511) approx 0.2256 - 0.4923 approx -0.2667 e f'(0.4511) = 12 - sec^2(0.4511) approx 0.5 - 1.2256 approx -0.7256 :
x2 = 0.4511 - ( -0.2667-0.7256 ) approx 0.4511 - 0.3679 approx 0.0832
Aplicando novamente:
Ainda está indo para valores menores. Vamos tentar um valor inicial maior, por exemplo, .

Passo 6

Calculando f(4) = 42 - tan(4) approx 2 - 1.1578 approx 0.8422 e f'(4) = 12 - sec^2(4) approx 0.5 - 1.3077 approx -0.8077 :
x1 = 4 - ( 0.8422-0.8077 ) approx 4 + 1.042 approx 5.042
Aplicando a fórmula:
Isso está aumentando. Parece que precisamos de um valor inicial melhor. Vamos tentar .

Passo 7

Calculando f(1.2) = 1.22 - tan(1.2) approx 0.6 - 2.5722 approx -1.9722 e f'(1.2) = 12 - sec^2(1.2) approx 0.5 - 1.6185 approx -1.1185 :
x1 = 1.2 - ( -1.9722-1.1185 ) approx 1.2 - 1.764 approx -0.564
Aplicando a fórmula:
Novamente negativo. Parece que essa equação é complicada para o método. Vamos tentar com .

Passo 8

Calculando f(0.5) = 0.52 - tan(0.5) approx 0.25 - 0.5463 approx -0.2963 e f'(0.5) = 12 - sec^2(0.5) approx 0.5 - 1.1392 approx -0.6392 :
x1 = 0.5 - ( -0.2963-0.6392 ) approx 0.5 - 0.463 approx 0.037
Aplicando a fórmula:
Ainda estamos indo para valores menores. Parece que a raiz está próxima de zero, mas sabemos que tem assíntotas, então nossa abordagem inicial pode precisar de ajuste.

Resposta

Após várias iterações com o método de Newton-Raphson, a menor raiz positiva da equação com precisão não converge de forma eficiente, indicando que o método pode não ser adequado para essa função específica ou que uma aproximação inicial melhor é necessária. Recomenda-se revisar a escolha do ponto inicial ou considerar métodos alternativos para encontrar a raiz desejada.

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