Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações, com precisão
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar a menor raiz positiva da equação usando o método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar raízes de funções. Para isso, vamos precisar da derivada da função e de uma aproximação inicial. Nossa precisão será .
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função que queremos encontrar a raiz:
E sua derivada:
A ideia do método de Newton-Raphson é melhorar nossa estimativa da raiz usando a fórmula:
Vamos escolher uma aproximação inicial próxima da raiz. Observando o gráfico de , parece que a menor raiz positiva está entre 1 e 2. Vamos começar com .
Passo 3
Vamos calcular e :
Agora, aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
Hmm, o valor deu negativo, o que não faz sentido para nossa raiz positiva. Vamos tentar um valor inicial diferente, por exemplo, .
Passo 4
Calculando e :
Aplicando a fórmula:
Agora, vamos recalcular com .
Passo 5
Calculando e :
Aplicando novamente:
Ainda está indo para valores menores. Vamos tentar um valor inicial maior, por exemplo, .
Passo 6
Calculando e :
Aplicando a fórmula:
Isso está aumentando. Parece que precisamos de um valor inicial melhor. Vamos tentar .
Passo 7
Calculando e :
Aplicando a fórmula:
Novamente negativo. Parece que essa equação é complicada para o método. Vamos tentar com .
Passo 8
Calculando e :
Aplicando a fórmula:
Ainda estamos indo para valores menores. Parece que a raiz está próxima de zero, mas sabemos que tem assíntotas, então nossa abordagem inicial pode precisar de ajuste.
Resposta
Após várias iterações com o método de Newton-Raphson, a menor raiz positiva da equação com precisão não converge de forma eficiente, indicando que o método pode não ser adequado para essa função específica ou que uma aproximação inicial melhor é necessária. Recomenda-se revisar a escolha do ponto inicial ou considerar métodos alternativos para encontrar a raiz desejada.