Seja a tabela
|
2,1 | 2,2 | 2,3 | 2,4 |
---|---|---|---|---|
|
0,3693 | 0,5137 | 0,6732 | 0,8424 |
Calcular
e
por meio de método de GREGORY-
NEWTON e comparar com o resultado exato
NEWTON e comparar com o resultado exato
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma tabela com valores de
e
, e precisamos calcular as aproximações
,
e
usando o método de Gregory-Newton. Depois, vamos comparar esses resultados com o valor exato
.
Conteúdo da matéria: Interpolação polinomial, especificamente o método de Gregory-Newton.
O que precisamos:
- Conhecer os pontos da tabela.
- Entender como construir a tabela de diferenças.
- Aplicar a fórmula de Gregory-Newton para encontrar os polinômios de interpolação de ordem 1, 2 e 3.
- Avaliar esses polinômios em
. - Comparar com o valor exato.
Passo 2
Vamos começar organizando os dados da tabela:
Nosso objetivo é interpolar esses pontos para encontrar uma aproximação de
quando
.
Passo 3
Agora, vamos construir a tabela de diferenças necessárias para o método de Gregory-Newton. As diferenças divididas ajudam a determinar os coeficientes do polinômio de interpolação.
Primeiro, calculamos as diferenças de primeira ordem (
):
Em seguida, calculamos as diferenças de segunda ordem (
):
E finalmente, as diferenças de terceira ordem (( \Delta^3 y \ )):
Passo 4
Com as diferenças calculadas, podemos agora construir a tabela completa de diferenças divididas:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a fórmula de Gregory-Newton para construir os polinômios de interpolação.
A fórmula geral de Gregory-Newton é:
Onde:
-
é o polinômio de interpolação de ordem . -
é o primeiro valor de . -
, , , etc., são as diferenças divididas.
Vamos construir os polinômios de ordem 1, 2 e 3.
Passo 6
Polinômio de Ordem 1 (
):
Considera apenas o primeiro termo e a primeira diferença:
Substituindo os valores:
Calculando:
Passo 7
Polinômio de Ordem 2 (
):
Inclui a segunda diferença dividida:
Substituindo os valores:
Calculando:
Passo 8
Polinômio de Ordem 3 (
):
Inclui a terceira diferença dividida:
Substituindo os valores:
Calculando cada termo:
Resposta
Então, após os cálculos, encontramos:
Comparando com o valor exato:
Notamos que as aproximações
,
e
são todas iguais a aproximadamente 0,3765, o que é um pouco menor que o valor exato de 0,4393. Isso indica que, com os dados fornecidos e o método aplicado, as aproximações estão próximas, mas ainda apresentam uma pequena diferença em relação ao valor real.