Seja a tabela
X 2,1 2,2 2,3 2,4
y 0,3693 0,5137 0,6732 0,8424
Calcular P1(2,15), P2(2,15) e P3(2,15) por meio de método de GREGORY-
NEWTON e comparar com o resultado exato f(2,15)=0,4393

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma tabela com valores de e , e precisamos calcular as aproximações , e usando o método de Gregory-Newton. Depois, vamos comparar esses resultados com o valor exato .
Conteúdo da matéria: Interpolação polinomial, especificamente o método de Gregory-Newton.
O que precisamos:
  • Conhecer os pontos da tabela.
  • Entender como construir a tabela de diferenças.
  • Aplicar a fórmula de Gregory-Newton para encontrar os polinômios de interpolação de ordem 1, 2 e 3.
  • Avaliar esses polinômios em .
  • Comparar com o valor exato.

Passo 2

Vamos começar organizando os dados da tabela:
|c|c|c|c|c| hline X & 2,1 & 2,2 & 2,3 & 2,4 hline y & 0,3693 & 0,5137 & 0,6732 & 0,8424 hline
Nosso objetivo é interpolar esses pontos para encontrar uma aproximação de quando .

Passo 3

Agora, vamos construir a tabela de diferenças necessárias para o método de Gregory-Newton. As diferenças divididas ajudam a determinar os coeficientes do polinômio de interpolação.
Primeiro, calculamos as diferenças de primeira ordem ( De):
De
De
De
Em seguida, calculamos as diferenças de segunda ordem ( De):
De
E finalmente, as diferenças de terceira ordem (( \Delta^3 y \ )):

Passo 4

Com as diferenças calculadas, podemos agora construir a tabela completa de diferenças divididas:
|c|c|c|c|c| hline X & y & De

Passo 5

Agora, vamos aplicar a fórmula de Gregory-Newton para construir os polinômios de interpolação.
A fórmula geral de Gregory-Newton é:
Pn(X) = y0 + De
Onde:
  • é o polinômio de interpolação de ordem .
  • é o primeiro valor de .
  • , , , etc., são as diferenças divididas.
Vamos construir os polinômios de ordem 1, 2 e 3.

Passo 6

Polinômio de Ordem 1 ( P1(X) = y0 + De):
Considera apenas o primeiro termo e a primeira diferença:
P1(2,15) = 0,3693 + 0,1444 times (2,15 - 2,1) = 0,3693 + 0,1444 times 0,05
Substituindo os valores:
P1(2,15) = 0,3693 + 0,00722 = 0,3765
Calculando:

Passo 7

Polinômio de Ordem 2 ( P2(X) = y0 + De):
Inclui a segunda diferença dividida:
P2(2,15) = 0,3693 + 0,1444 times 0,05 + 0,01512 times (0,05)(0,05 - 0)
Substituindo os valores:
P2(2,15) = 0,3693 + 0,00722 + 0,00755 times 0,0025 = 0,3693 + 0,00722 + 0,000018875 approx 0,3765
Calculando:

Passo 8

Polinômio de Ordem 3 ( P3(X) = y0 + De):
Inclui a terceira diferença dividida:
P3(2,15) = 0,3693 + 0,1444 times 0,05 + 0,01512 times 0,05 times 0,05 + -0,00546 times 0,05 times 0,05 times 0,05
Substituindo os valores:
0,3693 + 0,00722 + 0,00755 times 0,0025 - 0,0009 times 0,000125 approx 0,3693 + 0,00722 + 0,000018875 - 0,0000001125 approx 0,3765
Calculando cada termo:

Resposta

Então, após os cálculos, encontramos:
P1(2,15) &approx 0,3765 P2(2,15) &approx 0,3765 P3(2,15) &approx 0,3765
Comparando com o valor exato:
f(2,15) = 0,4393
Notamos que as aproximações , e são todas iguais a aproximadamente 0,3765, o que é um pouco menor que o valor exato de 0,4393. Isso indica que, com os dados fornecidos e o método aplicado, as aproximações estão próximas, mas ainda apresentam uma pequena diferença em relação ao valor real.

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