Calcule o valor de cada inegral seguinte:
D=integral0^pi sen(y)raiz2+cos (y) d y

Passo 1

Vamos lá! Você me enviou um exercício que pede para calcular a integral . Esse tipo de integral está relacionado ao cálculo de integrais que envolvem funções trigonométricas e radicais. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observando o denominador u = 2 + cos(y) , uma boa ideia é definir uma nova variável relacionada a essa expressão. Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudy = -sin(y) em relação a du = -sin(y) , dy Rightarrow sin(y) , dy = -du , ou seja, , para fazer a substituição na integral. Derivando :
Isso significa que:

Passo 4

Substituímos D = integral0^pi sin(y)raiz2 + cos(y) , dy = integral -duraizu e u = 2 + cos(0) = 2 + 1 = 3 na integral original:
u = 2 + cos(pi) = 2 - 1 = 1
Note que os limites de integração também mudam quando fazemos a substituição. Quando D = -integral3^1 duraizu :
E quando :
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos simplificar a integral:
-integral3^1 duraizu = integral1^3 duraizu
Isso porque trocar os limites de integração inverte o sinal da integral.

Passo 6

Agora, resolvemos a integral integral duraizu = 2raizu + C . Sabemos que:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Aplicamos os limites de integração de 1 a 3:
D = 2raizu |1^3 = 2raiz3 - 2raiz1 = 2raiz3 - 2

Resposta

O valor da integral é .

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Calcule o valor de cada inegral seguinte:
w=integral-3^4|z-1| d z
Calcule o valor de cada inegral seguinte:
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Calcule o valor de cada inegral seguinte:
I=integral1^2 3 v^22 v^3+1 d v
Calcule o valor de cada inegral seguinte:
O=integral0^1 e^2-2 t d t