Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular . Vamos usar o conteúdo de integração por substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da função que, quando substituída, torne a integral mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração: . Parece uma expressão que podemos derivar! Vamos chamar essa parte de . Então, seja:
Passo 3
Agora, precisamos descobrir a derivada de em relação a , que é . Vamos calcular:
Isso significa que:
Passo 4
Olha só, no numerador da nossa integral original temos . Queremos expressar isso em termos de . Podemos rearranjar a expressão de :
Então, substituindo na integral:
Passo 5
Agora, a integral ficou bem mais simples:
A antiderivada de é , então:
Mas como estamos lidando com uma integral definida de 1 a 2, não precisamos da constante .
Passo 6
Vamos voltar à variável original substituindo :
Passo 7
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 1 a 2:
Para 12 ln(2 cdot 2^3 + 1) = 12 ln(17) :