Calcule o valor de cada inegral seguinte:
I=integral1^2 3 v^22 v^3+1 d v

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular . Vamos usar o conteúdo de integração por substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da função que, quando substituída, torne a integral mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração: u = 2v^3 + 1 . Parece uma expressão que podemos derivar! Vamos chamar essa parte de . Então, seja:

Passo 3

Agora, precisamos descobrir a derivada de dudv = 6v^2 em relação a du = 6v^2 dv , que é . Vamos calcular:
Isso significa que:

Passo 4

Olha só, no numerador da nossa integral original temos 3v^2 dv = 12 du . Queremos expressar isso em termos de I = integral 3v^22v^3+1 dv = integral 12 cdot duu . Podemos rearranjar a expressão de :
Então, substituindo na integral:

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples:
I = 12 integral 1u du
A antiderivada de I = 12 ln|u| + C é , então:
Mas como estamos lidando com uma integral definida de 1 a 2, não precisamos da constante .

Passo 6

Vamos voltar à variável original substituindo I = 12 ln(2v^3 + 1) |1^2 :

Passo 7

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 1 a 2:
Para 12 ln(2 cdot 2^3 + 1) = 12 ln(17) :
12 ln(2 cdot 1^3 + 1) = 12 ln(3)
Para :

Resposta

Então, o valor da integral é:
I = 12 ln(173)

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Calcule o valor de cada inegral seguinte:
D=integral0^pi sen(y)raiz2+cos (y) d y
Calcule o valor de cada inegral seguinte:
w=integral-3^4|z-1| d z
Calcule o valor de cada inegral seguinte:
O=integral0^1 e^2-2 t d t
Encontre a expressão da derivada seguinte
dd u integral0^u ln (2+cos (v^2)) d v