Calcule o valor de cada inegral seguinte:
J=integral-pi2^pi2 sen(w)2+cos (w) d w

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular a integral definida:
J = integral-pi2^pi2 sin(w)2 + cos(w) , dw
Vamos precisar usar técnicas de cálculo integral, especificamente a substituição para resolver essa integral. Não se preocupe, vou explicar cada passo direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Olhando para o denominador, temos u = 2 + cos(w) . Vamos fazer a seguinte substituição:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudw = -sin(w) em relação a du = -sin(w) , dw para substituir sin(w) , dw = -du na integral. Calculando a derivada:
Isso significa que:
Ou, rearranjando:

Passo 4

Vamos substituir J = integral sin(w)2 + cos(w) , dw = integral -duu e na integral original. Substituindo na expressão de :

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples:
integral -duu = -integral duu
A integral de -integral duu = -ln|u| + C em relação a é o logaritmo natural:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos voltar à variável original -ln|2 + cos(w)| + C substituindo :
Agora, precisamos avaliar essa expressão entre os limites de e .

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
J = -[ ln(2 + cos(pi2)) - ln(2 + cos(-pi2)) ]
Sabemos que J = -[ ln(2 + 0) - ln(2 + 0) ] e J = -[ ln(2) - ln(2) ] , então:
J = -(0)
J = 0

Resposta

O valor da integral é 0.

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