Calcule o valor de cada inegral seguinte:
M=integrale^e^2 d zz cdot ln (z)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. A gente precisa calcular a integral:
M = integrale^e^2 dzz cdot ln(z)
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com uma função que envolve o logaritmo natural. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar integrais mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integral. Vamos definir:
t = ln(z)
Por que essa escolha? Porque a derivada de dt = 1z dz Rightarrow dz = z cdot dt em relação a é , o que aparece no denominador da nossa função. Então, derivando ambos os lados em relação a :

Passo 3

Agora, vamos substituir 1z cdot ln(z) dz = 1z cdot t cdot z cdot dt = 1t dt e M = integral 1t dt na integral original. Substituindo na expressão, temos:
Então, a integral fica muito mais simples:

Passo 4

Antes de integrar, precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição que fizemos. Vamos ver:
  • Quando t = ln(e) = 1 :
t = ln(e^2) = 2
  • Quando M = integral1^2 1t dt :
Portanto, a integral agora vai de a :

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de M = ln(t) |1^2 = ln(2) - ln(1) de 1 a 2. A antiderivada de M = ln(2) é , então:
Sabemos que , então:

Resposta

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