Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. A gente precisa calcular a integral:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com uma função que envolve o logaritmo natural. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar integrais mais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integral. Vamos definir:
Por que essa escolha? Porque a derivada de em relação a é , o que aparece no denominador da nossa função. Então, derivando ambos os lados em relação a :
Passo 3
Agora, vamos substituir e na integral original. Substituindo na expressão, temos:
Então, a integral fica muito mais simples:
Passo 4
Antes de integrar, precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição que fizemos. Vamos ver:
Quando :
Quando :
Portanto, a integral agora vai de a :
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de de 1 a 2. A antiderivada de é , então: