Calcule o valor de cada inegral seguinte:
Passo 1
Então, temos que calcular a integral definida:
Esse problema pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente à integração de funções polinomiais multiplicadas por raízes quadradas. Para resolver, vamos usar uma técnica de substituição que simplifica a expressão dentro da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integração. Observando a expressão
, podemos deixar:
Dessa forma, a derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos expressar
em termos de
:
Substituindo na expressão
temos:
Passo 4
Substituindo tudo de volta na integral original, temos:
Note que alteramos os limites de integração de
para
:
- Quando
, - Quando
,
Passo 5
Vamos agora expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos cada termo separadamente:
Portanto:
Passo 7
Vamos substituir os limites de integração na expressão:
Para :
Para
Para
:
Passo 8
Calculando a diferença:
Para subtrair essas frações, precisamos de um denominador comum:
Então:
Resposta
O valor da integral é
.
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