Calcule o valor de cada inegral seguinte:
A=integral-2^2(v+1) raizv+2 d v

Passo 1

Então, temos que calcular a integral definida:
A = integral-2^2 (v + 1) raizv + 2 , dv
Esse problema pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente à integração de funções polinomiais multiplicadas por raízes quadradas. Para resolver, vamos usar uma técnica de substituição que simplifica a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integração. Observando a expressão raizv + 2, podemos deixar:
u = v + 2
Dessa forma, a derivada de u em relação a v é:
du = dv Rightarrow dv = du

Passo 3

Agora, vamos expressar v em termos de u:
v = u - 2
Substituindo na expressão (v + 1) temos:
v + 1 = (u - 2) + 1 = u - 1

Passo 4

Substituindo tudo de volta na integral original, temos:
A = integralu=-2+2^u=2+2 (u - 1) raizu , du = integral0^4 (u - 1) raizu , du
Note que alteramos os limites de integração de v para u:
  • Quando v = -2, u = -2 + 2 = 0
  • Quando v = 2, u = 2 + 2 = 4

Passo 5

Vamos agora expandir a expressão dentro da integral:
(u - 1) raizu = u cdot u^1/2 - 1 cdot u^1/2 = u^3/2 - u^1/2
Então, a integral fica:
A = integral0^4 ( u^3/2 - u^1/2 ) du

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral u^3/2 , du = 25 u^5/2 integral u^1/2 , du = 23 u^3/2
Portanto:
A = [ 25 u^5/2 - 23 u^3/2 ]0^4

Passo 7

Vamos substituir os limites de integração na expressão:
Para u = 4:
25 cdot 4^5/2 - 23 cdot 4^3/2 = 25 cdot 32 - 23 cdot 8 = 645 - 163
Para u = 0:
25 cdot 0^5/2 - 23 cdot 0^3/2 = 0 - 0 = 0

Passo 8

Calculando a diferença:
A = ( 645 - 163 ) - 0 = 645 - 163
Para subtrair essas frações, precisamos de um denominador comum:
645 = 64 times 35 times 3 = 19215 163 = 16 times 53 times 5 = 8015
Então:
A = 19215 - 8015 = 11215

Resposta

O valor da integral é 11215.

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x=integral-2^3|2 a+1| d a
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