Calcule o valor de cada inegral seguinte:
u=integral0^1 x^3+2 xraiz[3]x^4+4 x^2+3 d x

Passo 1

Entendendo a questão:
Nós temos que calcular a integral definida:
u = integral0^1 x^3 + 2xraiz[3]x^4 + 4x^2 + 3 , dx
Conteúdo envolvido:
  • Cálculo de integrais: Para resolver essa integral, vamos utilizar o método de substituição.
  • Substituição adequada: Precisamos encontrar uma função dentro da integral que, quando derivada, apareça no numerador.

Passo 2

Escolhendo a substituição:
Vamos definir:
t = x^4 + 4x^2 + 3
Por quê essa escolha?
Porque o denominador da nossa fração é a raiz cúbica de , e derivando em relação a , vamos conseguir simplificar a integral.

Passo 3

Calculando a derivada de dtdx = 4x^3 + 8x = 4x(x^2 + 2) :
x^3 + 2x = x(x^2 + 2)
Relacionando com o numerador:
Observamos que o numerador da nossa integral é dtdx = 4(x^3 + 2x) Rightarrow x^3 + 2x = dt4dx , que pode ser reescrito como:
Comparando com a derivada de :

Passo 4

Expressando a integral em termos de u = integral x^3 + 2xt^1/3 dx = integral dt4dxt^1/3 dx = 14 integral t^-1/3 dt :
Substituindo por , temos:

Passo 5

Calculando a integral com a nova variável:
Integrando 14 integral t^-1/3 dt = 14 cdot t^2/323 + C = 38 t^2/3 + C :

Passo 6

Substituindo de volta u = 38 (x^4 + 4x^2 + 3)^2/3 |0^1 e aplicando os limites de integração:
Primeiro, substituímos t = 1^4 + 4 cdot 1^2 + 3 = 1 + 4 + 3 = 8 por t = 0^4 + 4 cdot 0^2 + 3 = 0 + 0 + 3 = 3 :
Agora, calculamos nos limites e :
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Calculando a diferença:
u = 38 (8^2/3 - 3^2/3)
Simplificando as potências:
  • u = 38 (4 - 3^2/3)
  • permanece como , que é aproximadamente (opcionalmente calculável numericamente)
Então:

Resposta

O valor da integral é:
u = 38 (4 - 3^2/3) approx 0,72

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r=integral0^1 / 4 1cos ^2(pi u) d u
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x=integral-2^3|2 a+1| d a
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A=integral-2^2(v+1) raizv+2 d v