Calcule o valor de cada inegral seguinte:
Passo 1
Entendendo a questão:
Nós temos que calcular a integral definida:
Conteúdo envolvido:
- Cálculo de integrais: Para resolver essa integral, vamos utilizar o método de substituição.
- Substituição adequada: Precisamos encontrar uma função dentro da integral que, quando derivada, apareça no numerador.
Passo 2
Escolhendo a substituição:
Vamos definir:
Por quê essa escolha?
Porque o denominador da nossa fração é a raiz cúbica de
, e derivando
em relação a
, vamos conseguir simplificar a integral.
Passo 3
Calculando a derivada de
:
Relacionando com o numerador:
Observamos que o numerador da nossa integral é
, que pode ser reescrito como:
Comparando com a derivada de
:
Passo 4
Expressando a integral em termos de
:
Substituindo
por
, temos:
Passo 5
Calculando a integral com a nova variável:
Integrando
:
Passo 6
Substituindo de volta
e aplicando os limites de integração:
Primeiro, substituímos
por
:
Agora, calculamos nos limites
e
:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Calculando a diferença:
Simplificando as potências:
-
u = 38 (4 - 3^2/3) -
permanece como , que é aproximadamente (opcionalmente calculável numericamente)
Então:
Resposta
O valor da integral é: