Calcule o valor de cada inegral seguinte:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral definida de uma função que envolve módulo:
Isso envolve conceitos de cálculo integral e manipulação de funções absolutas. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com o módulo dentro da integral e dividir o intervalo de integração onde a expressão dentro do módulo muda de sinal.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar quando a expressão dentro do módulo,
, muda de sinal. Para isso, igualamos a expressão a zero:
Resolvendo para
:
Então,
é zero quando
. Isso significa que a função
muda de comportamento nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos dividir o intervalo de integração
em duas partes, uma de
e outra de
, porque é onde a expressão dentro do módulo muda de sinal.
- Para
, é negativo, então:
- Para
, é positivo, então:
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral original dividindo-a nesses dois intervalos:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 5
Primeira integral:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, integramos termo a termo:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar porque estamos calculando uma integral definida.
Agora, aplicamos os limites de integração:
Calculando para
:
Calculando para
:
Agora, subtraímos:
Passo 6
Segunda integral:
Vamos integrar termo a termo:
Novamente, aplicamos os limites de integração:
Calculando para
:
Calculando para
:
Agora, subtraímos:
Resposta
Somando os resultados das duas integrais:
Portanto, o valor da integral é:
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