Calcule o valor de cada inegral seguinte:
x=integral-2^3|2 a+1| d a

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral definida de uma função que envolve módulo:
x = integral-2^3 |2a + 1| , da
Isso envolve conceitos de cálculo integral e manipulação de funções absolutas. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com o módulo dentro da integral e dividir o intervalo de integração onde a expressão dentro do módulo muda de sinal.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar quando a expressão dentro do módulo, 2a + 1 = 0 , muda de sinal. Para isso, igualamos a expressão a zero:
2a = -1
Resolvendo para a = -12 :
Então, é zero quando . Isso significa que a função muda de comportamento nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos dividir o intervalo de integração |2a + 1| = -(2a + 1) em duas partes, uma de |2a + 1| = 2a + 1 e outra de , porque é onde a expressão dentro do módulo muda de sinal.
  • Para , é negativo, então:
  • Para , é positivo, então:

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral original dividindo-a nesses dois intervalos:
x = integral-2^- 12 -(2a + 1) , da + integral- 12^3 (2a + 1) , da
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 5

Primeira integral: -(2a + 1) = -2a - 1
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
integral (-2a - 1) , da = -a^2 - a + C
Agora, integramos termo a termo:
[ -a^2 - a ]-2^- 12
Onde -(-12)^2 - (-12) = -14 + 12 = 14 é a constante de integração, que não precisamos considerar porque estamos calculando uma integral definida.
Agora, aplicamos os limites de integração:
-(-2)^2 - (-2) = -4 + 2 = -2
Calculando para 14 - (-2) = 14 + 2 = 94 :
Calculando para :
Agora, subtraímos:

Passo 6

Segunda integral: integral (2a + 1) , da = a^2 + a + C
Vamos integrar termo a termo:
[ a^2 + a ]- 12^3
Novamente, aplicamos os limites de integração:
3^2 + 3 = 9 + 3 = 12
Calculando para (-12)^2 + (-12) = 14 - 12 = -14 :
12 - (-14) = 12 + 14 = 494
Calculando para :
Agora, subtraímos:

Resposta

Somando os resultados das duas integrais:
x = 94 + 494 = 584 = 292
Portanto, o valor da integral é:
x = 292

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