Calcule o valor de cada inegral seguinte:
o=integral0^2 z^2raizz^3+1 d z

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral definida:
o = integral0^2 z^2raizz^3 + 1 , dz
Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente focando em técnicas de integração. Para resolver essa integral, vamos precisar usar o método de substituição, que ajuda a simplificar integrais complexas transformando-as em formas mais fáceis de calcular.

Passo 2

Vamos começar escolhendo uma substituição adequada. Observamos que o denominador da fração envolve raizz^3 + 1. Isso sugere que podemos definir uma nova variável para simplificar a expressão. Vamos definir:
u = z^3 + 1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a z para substituir dz na integral. Derivando ambos os lados em relação a z:
dudz = 3z^2 Rightarrow du = 3z^2 , dz
Isso nos permite expressar z^2 , dz em termos de du:
z^2 , dz = du3

Passo 4

Substituímos agora u e dz na integral original. Os limites de integração também precisam ser ajustados de acordo com a nova variável u:
Quando z = 0:
u = 0^3 + 1 = 1
Quando z = 2:
u = 2^3 + 1 = 8 + 1 = 9
A integral fica então:
o = integral1^9 13 cdot 1raizu , du

Passo 5

Simplificamos a constante 13 fora da integral:
o = 13 integral1^9 u^-1/2 , du
Agora, podemos integrar u^-1/2 em relação a u. A integral de u^n é u^n+1n+1, desde que n neq -1.

Passo 6

Aplicando a regra de integração:
integral u^-1/2 , du = u^1/21/2 + C = 2u^1/2 + C
Onde C é a constante de integração, mas como estamos trabalhando com integrais definidas, podemos ignorar C.

Passo 7

Agora, avaliamos a integral definida com os limites de 1 a 9:
o = 13 [ 2u^1/2 ]1^9 = 23 [ raiz9 - raiz1 ]

Passo 8

Calculamos as raízes quadradas:
raiz9 = 3 e raiz1 = 1
Substituindo na expressão:
o = 23 (3 - 1) = 23 times 2 = 43

Resposta

O valor da integral é boxeddfrac43.

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Calcule o valor de cada inegral seguinte:
r=integral0^1 / 4 1cos ^2(pi u) d u
Calcule o valor de cada inegral seguinte:
u=integral0^1 x^3+2 xraiz[3]x^4+4 x^2+3 d x