Calcule o valor de cada inegral seguinte:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral definida:
Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente focando em técnicas de integração. Para resolver essa integral, vamos precisar usar o método de substituição, que ajuda a simplificar integrais complexas transformando-as em formas mais fáceis de calcular.
Passo 2
Vamos começar escolhendo uma substituição adequada. Observamos que o denominador da fração envolve
. Isso sugere que podemos definir uma nova variável para simplificar a expressão. Vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Derivando ambos os lados em relação a
:
Isso nos permite expressar
em termos de
:
Passo 4
Substituímos agora
e
na integral original. Os limites de integração também precisam ser ajustados de acordo com a nova variável
:
Quando
:
Quando
:
A integral fica então:
Passo 5
Simplificamos a constante
fora da integral:
Agora, podemos integrar
em relação a
. A integral de
é
, desde que
.
Passo 6
Aplicando a regra de integração:
Onde
é a constante de integração, mas como estamos trabalhando com integrais definidas, podemos ignorar
.
Passo 7
Agora, avaliamos a integral definida com os limites de 1 a 9:
Passo 8
Calculamos as raízes quadradas:
Substituindo na expressão:
Resposta
O valor da integral é
.
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