Calcule o valor de cada inegral seguinte:
Passo 1
Vamos resolver o seguinte exercício:
Esse é um problema de cálculo integral envolvendo uma função que combina polinômios e raízes quadradas. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar integrais mais complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar o cálculo. Observamos que temos a expressão
. Vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para fazer a substituição completa. Calculando a derivada:
Isso implica que:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para expressar
em termos de
:
Passo 5
Substituímos
e
na integral original:
Agora, precisamos ajustar os limites de integração para a variável
.
Passo 6
Calculamos os novos limites de integração substituindo os valores de
na expressão de
:
-
Quando
: -
Quando
:
Portanto, os novos limites são de
a
.
Passo 7
Substituímos tudo na integral com as novas variáveis e limites:
Passo 8
Vamos integrar
em relação a
:
Onde
é a constante de integração, que podemos ignorar já que estamos calculando uma integral definida.
Passo 9
Aplicamos o resultado da integração e calculamos os valores nos limites:
Simplificando:
Resposta
O valor da integral é
.
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