Calcule o valor de cada inegral seguinte:
K=integral0^pi cos (x / 3)2-sen(x / 3) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Precisamos calcular a integral definida:
K = integral0^pi cos ( x3 )2 - sin ( x3 ) dx
Aqui, estamos trabalhando com integrais envolvendo funções trigonométricas. Vamos precisar usar uma técnica chamada substituição para resolver essa integral.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a integral. Seja:
u = 2 - sin ( x3 )
Isso significa que precisamos encontrar a derivada de dudx = -13 cos ( x3 ) em relação a :

Passo 3

Agora, vamos resolver para du = -13 cos ( x3 ) dx dx = -3 ducos ( x3 ) :

Passo 4

Vamos substituir K = integral0^pi cos ( x3 )u cdot (-3 ducos ( x3 )) K = -3 integral 1u du e na integral original:

Passo 5

A integral integral 1u du = ln|u| + C é uma integral básica que resulta no logaritmo natural:
K = -3 ln|u| + C
Portanto:

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original u = 2 - sin ( x3 ) :
K = -3 ln ( 2 - sin ( x3 ) ) + C
Então:

Passo 7

Como temos uma integral definida de u = 2 - sin ( pi3 ) = 2 - raiz32 a u = 2 - sin(0) = 2 , vamos calcular os limites:
Para :
Para :

Passo 8

Agora, substituímos os limites na expressão de K = -3 [ ln ( 2 - raiz32 ) - ln(2) ] :
K = -3 ln ( 2 - raiz322 )
Usando propriedades dos logaritmos:
K = -3 ln ( 1 - raiz34 )
Simplificando:

Resposta

O valor da integral é:
K = -3 ln ( 1 - raiz34 )

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R=integral0^1 1+e raizwraizw d w
Encontre a expressão da derivada seguinte
dd w integral0^w raizsen(z) d z