Calcule o valor de cada inegral seguinte:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Precisamos calcular a integral definida:
Aqui, estamos trabalhando com integrais envolvendo funções trigonométricas. Vamos precisar usar uma técnica chamada substituição para resolver essa integral.
Passo 2
Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a integral. Seja:
Isso significa que precisamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos resolver para
:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Passo 5
A integral
é uma integral básica que resulta no logaritmo natural:
Portanto:
Passo 6
Agora, precisamos voltar para a variável original
:
Então:
Passo 7
Como temos uma integral definida de
a
, vamos calcular os limites:
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora, substituímos os limites na expressão de
:
Usando propriedades dos logaritmos:
Simplificando:
Resposta
O valor da integral é:
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Encontre a expressão da derivada seguinte