Calcule o valor de cada inegral seguinte:
y=integral-2^1 raiz|t|-t d t

Passo 1

Vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral definida que envolve uma expressão com valor absoluto. Para resolver, precisamos entender como o valor absoluto afeta a expressão e dividir a integral em partes que sejam mais fáceis de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dentro da raiz: . O valor absoluto de depende do sinal de :
  • Para , , então .
  • Para , , então .
Isso significa que a expressão dentro da raiz muda de forma quando passa de negativo para positivo. Portanto, precisamos dividir a integral no ponto onde .

Passo 3

Vamos reescrever a integral dividindo-a em duas partes:
y = integral-2^0 raiz-2t , dt + integral0^1 0 , dt
A segunda integral, de 0 a 1, é fácil porque a função é zero, então o resultado dessa parte será zero.

Passo 4

Focando na primeira integral:
integral-2^0 raiz-2t , dt
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja , então ou .

Passo 5

Alterando os limites de integração para a variável integral4^0 raizu (-12) du = 12 integral0^4 raizu , du :
  • Quando , .
  • Quando , .
Então, a integral fica:
Aqui, invertemos os limites de integração e retiramos o sinal negativo.

Passo 6

Agora, calculamos a integral:
12 integral0^4 u^1/2 , du
A integral de 12 [ u^3/23/2 ]0^4 = 12 ( 23 u^3/2 )0^4 = 13 [ u^3/2 ]0^4 é , então:

Passo 7

Calculando 13 (8 - 0) = 83 nos limites:
  • Para : .
  • Para : .
Então:

Resposta

O valor da integral é .

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s=integral0^raizpi2 v sen(v^2) d v
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